Questão 19 - Prova Modelo A - AFA 2026

Girar para o produto das raízes:

${\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2{\mathrm{x}}_{3 }= -\frac{-4}{1} \Rightarrow {\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2{\mathrm{x}}_3 = 4$

Como o polimônio tem coeficientes reais, se $\sqrt{2}\mathrm{cis} \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ é raiz, então $\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ também é raiz.

$\sqrt{2}\mathrm{cis} \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \sqrt{2}\mathrm{cis} \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) {\mathrm{x}}_3 = 4 \Rightarrow 2{\mathrm{x}}_3\mathrm{cis}\left(0\right) = 4 \Rightarrow {\mathrm{x}}_3 = 2$

Portanto, as raízes são $1 + \mathrm{i}$, $1- \mathrm{i}$ e $2$, o que permite escrever:

$(\mathrm{x} - (1 + \mathrm{i}\left)\right)(\mathrm{x} - (1 - \mathrm{i}\left)\right) (\mathrm{x} - 2) = {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{ax}}^2 + \mathrm{bx} - 4$

$\left(5\right)(-3) = \mathrm{a} - \mathrm{b} - 5$

$\boxed{\mathrm{a} - \mathrm{b} = -10}$