Dissertativa 10 - 2ª Fase - Matemática - IME 2020

Um determinado material radioativo, com volume inicial ${𝑄}_0$, é manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resíduo impuro da substância é descartado, através de uma ligação por um pequeno orifício, num invólucro lacrado em formato de paralelepípedo retângulo. No primeiro dia, a quantidade $D_1$ descartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidade $D_n$ descartada no n-ésimo dia é dada pela relação:

${\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{3} {\mathrm{D}}_{\mathrm{n}-1}, \mathrm{para} \mathrm{n}\ge 2.$

Determine as dimensões do invólucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricação seja mínimo (isto é, a superfície lateral tenha área mínima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.