Dissertativa 4 - 2ª Fase - 2º Dia - Fuvest 2026

a) Admite-se que um produto custe P. Após um reajuste em 50%, o novo valor seria: $(1 + 0,50) \mathrm{P} = 1,5 \mathrm{P}$. Em seguida, seria aplicado um desconto y%, de modo que o produto voltaria a custar P. Então:

$\left(1-\mathrm{y}\%\right)1,5\mathrm{P} = \mathrm{P}\Rightarrow 1-\mathrm{y}\% =\frac{1}{1,5}\Rightarrow 1-\mathrm{y}\% = \frac{2}{3}\Rightarrow \mathrm{y}\% = \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{\mathrm{y}}{100}=\frac{1}{3}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{100}{3}$

Portanto, o percentual de desconto seria $\frac{100}{3}\%$.

b) Utilizando as expressões de fator de aumento e fator de redução, tem-se:

$\left(1+\mathrm{x}\%\right)\left(1-\mathrm{y}\%\right)\mathrm{P}=\mathrm{P}\Rightarrow \left(1+\frac{\mathrm{x}}{100}\right)\left(1-\frac{\mathrm{y}}{100}\right)=1\Rightarrow \left(100+\mathrm{x}\right)\left(100-\mathrm{y}\right)=10\hspace{0.17em}000$

$100-\mathrm{y}=\frac{10\hspace{0.17em}000}{100+\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{y}=100-\frac{10\hspace{0.17em}000}{100+\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{100\mathrm{x}}{100+\mathrm{x}}$

c) A partir da resolução do item B, tem-se a relação $(100 + \mathrm{m}) (100 - \mathrm{n}) = 10 000$. Dado que m e n  são números inteiros, os termos $100 + \mathrm{m}$ e $100 - \mathrm{n}$ tmabém são número inteiros. Por isso, o número 10 000 é divisível por $100 + \mathrm{m}$. Além disso, analisando a forma fatorada de 10 000, ou seja, $2^4 · 5^4$, conclui-se que o termo $100 + \mathrm{m}$ pode ser decomposto em fatores 2 e 5, de modo que $100 + \mathrm{m} = 2^{\mathrm{\alpha }} · 5^{\mathrm{\beta }}$, em que $\mathrm{\alpha }$ e $\mathrm{\beta }$ são números inteiros de 0 a 4. Por inspeção, identificou-se que o menor número inteiro maior que 100 e que atende a essa condição é $125 = 2^0 · 5^3$. Por consequência, $\mathrm{m} = 25$; e retornando ao resultado do item B, tem-se:

$\mathrm{n}=\frac{100\mathrm{m}}{100+\mathrm{m}}\Rightarrow \mathrm{n}=\frac{100 · 25}{100+25}\Rightarrow \mathrm{n}=20$

Logo, o menor valor de m para que n seja também um número inteiro é 25.