Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2023

Sejam os números complexos ${\mathrm{z}}_1, {\mathrm{z}}_2, ... ,{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$ tais que suas partes reais e imaginárias formam, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números reais e de mesma razão. Sabe-se que ${\mathrm{z}}_1=2+5\mathrm{i}$ e ${\mathrm{z}}_4=\mathrm{m}\left({\mathrm{i}}^{4\mathrm{m}}+5{\mathrm{i}}^{4\mathrm{m}+1}\right)$ onde $\mathrm{m}\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}^{*}$ e ${\mathrm{i}}^2=-1$.

Considere ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{5}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{k}}$ e ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{5}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{k}$.

Calcule o valor de $\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}- {\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{i}}+1$ em função de n.