Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2023

Sejam a, b, c números reais maiores que 1. Considere a expressão:

$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{xy} + \mathrm{yz} + \mathrm{xz} + 2(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}) + 3}{(\mathrm{x}+1)(\mathrm{y}+1)(\mathrm{z}+1)}$

onde $\mathrm{x}={\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{ab}, \mathrm{y}={\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{ac}, \mathrm{z}={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{bc}$. 

Prove que o valor de S é um número inteiro e calcule este valor.