Dissertativa 1 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

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Questão 1

Dissertativa

Um foguete é lançado para atingir um alvo localizado no topo de uma montanha. O centro do alvo encontra-se a uma distância horizontal de 2,0 km e vertical de 1,0 km da plataforma de lançamento. O projeto prevê que o foguete deixe o lançador à velocidade de 200 m/s, formando um ângulo de 45° com a horizontal. Nessas condições, o ponto mais alto da trajetória coincide com o centro do alvo. A temperatura de projeto da câmara de combustão do foguete é 2560 K.

Entretanto, uma falha na combustão elevou a temperatura dos gases, sem alterar o ângulo de lançamento. Em consequência, ao passar pela vertical do alvo, o foguete encontrava-se 360 m acima do alvo e ainda em movimento ascendente. Para avaliar os efeitos energéticos da falha, considere que 2,0 kg de gases ideais foram aquecidos, a pressão constante, desde a temperatura de projeto até a temperatura atingida.

Dados:

aceleração da gravidade: g = 10 m/s²;
calor específico dos gases, a pressão constante: 1,0 kJ/(kg·K);
aumento da energia interna dos gases durante a falha: 2016 kJ.

Observações:

admita que a temperatura absoluta da câmara de combustão seja diretamente proporcional ao quadrado da velocidade de lançamento do foguete;
despreze a resistência do ar.

Mediante as informações acima, na condição de falha, determine:

a velocidade de lançamento do foguete;
a temperatura atingida na câmara de combustão;
o trabalho realizado durante o aquecimento.

Resolução:

a) Do lançamento oblíquo:

$x = v_{0} cosθ \cdot t$

$y = v_{0} senθ \cdot t - \frac{1}{2} \cdot {gt}^{2}$

Logo, a equação da trajetória é:

$y = tgθ \cdot x - \frac{{gx}^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ}$

Para $g = 10 {m/s}^{2}$ , $θ = 45^{\circ}$ , $x = 2000 m$ e $y = 1360 m$ :

$v_{0} = 250 m/s$

b) Como a temperatura absoluta da câmara de combustão é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade de lançamento do foguete, tem-se:

$\frac{T_{falha}}{T_{proj}} = {(\frac{v_{falha}}{v_{proj}})}^{2} \Rightarrow \frac{T_{falha}}{2560} = {(\frac{250}{200})}^{2} \Rightarrow T_{falha} = 4000 K$

c) Calor recebido pelos gases:

$Q = m \cdot c \cdot ΔT = 2 \cdot 1 \cdot (4000 - 2560) kJ = 2880 kJ$

Da Primeira Lei da Termodinâmica:

$ΔU = Q - W \Rightarrow 2016 = 2880 - W \Rightarrow W = 864 kJ$

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