Dissertativa 3 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

Selecione uma prova

Gabarito

Física
1. 1DIS
2. 2DIS
3. 3DIS
4. 4DIS
5. 5DIS
6. 6DIS
7. 7DIS
8. 8DIS
9. 9DIS
10. 10DIS

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 3

Dissertativa

Figura 1 Figura 2

Num determinado planeta, um objeto metálico escuro em forma de paralelepípedo encontra-se apoiado à esquerda e pendurado por uma haste inextensível com uma argola retangular de apoio à direita. Ao nascer de seu Sol (25% do dia), a extremidade direita do objeto está rigorosamente abaixo da haste, como mostra a Figura 1. Neste momento, a haste está quase se rompendo e só conseguirá suportar 0,1% a mais de tração. Ao amanhecer, a irradiância do Sol, cujo gráfico se encontra na Figura 2, incide sobre o objeto, sendo totalmente absorvida em sua área superior paralela ao plano horizontal.

Dados:

densidade homogênea do objeto ao amanhecer: $2000 kg / m ³$ ;
dimensões do objeto: $2 m \times 25 cm \times 5 cm$ ;
comprimento do objeto: $L = 2 m$ ;
coeficiente de dilatação linear e calor específico do objeto metálico: $10^{- 5} ° C^{- 1}$ e $1, 0 J / (g \cdot ° C)$ ;
constante universal da gravitação: $G$ ;
massa e raio do planeta: $M$ e $R$ ;
$G \cdot M / R^{2} = 12 m / s^{2}$ ;
duração de um dia no planeta: $8 \cdot 10^{4} s$

Observações:

o esquema da Figura 1 foi montado sobre a superfície do planeta;
para efeito de cálculo, não considere as áreas laterais e nem a área de baixo para a absorção da irradiância;
durante o processo de dilatação, o objeto desliza apenas à direita e sem atrito pela argola mantendo o ponto de sustentação fixo, sendo que a haste se mantém na vertical;
o objeto permanece com a massa homogeneamente distribuída durante todo o aquecimento.

Diante do exposto, determine:

a) a reação no apoio à esquerda ao amanhecer;

b) a variação da temperatura do objeto desde o amanhecer até o momento do rompimento da haste;

c) o horário, em % do dia, no qual ocorre o rompimento da haste.

Resolução:

Do enunciado, $GM / R^{2} = g = 12 {m/s}^{2}$ .

Massa e peso do objeto:

$m = ρV \Rightarrow m = 2000 \cdot (2 \cdot 0, 25 \cdot 0, 05) \Rightarrow m = 50 kg$

$P = mg \Rightarrow P = 600 N$

Ao amanhecer, a argola segura a extremidade direita da barra. Equilíbrio de torques em relação ao apoio A:

$T \cdot L = P \cdot \frac{L}{2} \Rightarrow T = 300 N$

Equilíbrio vertical:

$R_{A} = P - T \Rightarrow R_{A} = 300 N (vertical, para cima)$

Condição para rompimento da haste: $T_{\max} = 1, 001 \cdot 300 \Rightarrow T_{\max} = 300, 3 N$

Ao aquecer, o objeto dilata para a direita e tem seu CM deslocado de $L^{'} / 2$ , com $L^{'} = L (1 + αΔT)$ .

Novo equilíbrio rotacional em relação ao apoio A:

$T \cdot L = P \cdot \frac{L (1 + αΔT)}{2} \Rightarrow T = 300 (1 + αΔT)$

No rompimento:

$300 (1 + αΔT) = 300, 3 \Rightarrow αΔT = 10^{- 3} \Rightarrow ΔT = \frac{10^{- 3}}{10^{- 5}} \Rightarrow ΔT = 100^{\circ} C$

Calor necessário para a variação de temperatura do rompimento:

$Q = mcΔT \Rightarrow Q = 50 \cdot 10^{3} \cdot 1, 0 \cdot 100 \Rightarrow Q = 5 \cdot 10^{6} J$

Desprezando-se a dilatação superficial*, a irradiância é absorvida pela face superior, cuja área vale:

$A = 2 \cdot 0, 25 \Rightarrow A = 0, 5 m^{2}$

Seja $t$ o tempo decorrido desde o amanhecer, em % do dia, com $1 % = 800 s$ .

Entre 25% e 50%, a irradiância e a potência absorvida crescem linearmente:

$P_{abs} = I \cdot A \Rightarrow P_{abs} = 4000 \cdot \frac{t}{25} \cdot 0, 5 \Rightarrow P_{abs} = 80 t$

A energia absorvida é a área do triângulo sob a potência, de base $800 t$ (em s) e altura $80 t$ (em W):

$E = \frac{1}{2} \cdot 800 t \cdot 80 t = 32 000 t^{2} \Rightarrow 32 000 t^{2} = 5 \cdot 10^{6} \Rightarrow t^{2} = 156, 25 \Rightarrow t = 12,5 %$

Como $t < 25 %$ , o rompimento ocorre ainda na subida do gráfico.

Finalmente, o horário é:

$horário = 25 % + 12,5 % \Rightarrow horário = 37,5 % do dia$

Observação: A inclusão da dilatação superficial exigiria o uso de cálculo diferencial-integral para a resolução do item (c), e impactaria em apenas 0,05% a resposta de 37,5%, sendo, portanto, negligenciável.

Downloads

Provas

Fique por dentro das novidades

Inscreva-se em nossa newsletter para receber atualizações sobre novas resoluções, dicas de estudo e informações que vão fazer a diferença na sua preparação!