Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

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Física
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Questão 7

Dissertativa

Nas Figuras 1 e 2, a partícula $P_{1}$ , positivamente carregada, é abandonada a partir do repouso no vértice B de um dodecágono regular e pode deslizar sobre o segmento BC. No vértice C, encontra-se fixado um anteparo que prende uma das extremidades de uma mola, inicialmente relaxada. Na outra extremidade da mola, foi fixada a partícula $P_{2}$ , também positivamente carregada e que também pode deslizar sobre BC.

Considere que, assim que as partículas alcancem a aproximação máxima entre elas, todo o sistema será instantaneamente girado no sentido anti-horário, de $30 °$ , sem adicionar energia cinética às partículas. A partir dessa nova configuração, a mola é desacoplada do sistema e totalmente retirada do vértice C e da partícula $P_{2}$ , sendo que as duas partículas passam a interagir entre si livremente. Essa situação está representada na Figura 3.

Dados:

massas das partículas $P_{1}$ e $P_{2}$ : $m = 0, 4 kg$ ;
distância inicial entre as partículas: $d_{0} = 1, 0 m$ ;
aceleração da gravidade: $g = 10 m / s^{2}$ ;
comprimento da mola relaxada: $L_{0} = 0, 15 m$ ;
carga de $P_{1}$ e carga de $P_{2}$ : $q_{1} = + 20 μC$ e $q_{2} = + 5 μC$ ;
constante elástica da mola: muito alta;
constante eletrostática do vácuo: $K_{e} = 9 \cdot 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ .

Observações:

todo o sistema encontra-se no vácuo;
despreze as dimensões das partículas e do anteparo;
como a constante elástica da mola é muito alta, despreze a variação da posição da partícula $P_{2}$ para efeitos de cálculo no movimento da partícula $P_{1}$ ;
as partículas deslizam sem atrito sobre o segmento BC;
durante o giro, as posições relativas das partículas não se alteram.

Diante do exposto:

a) na condição de aproximação máxima entre as partículas, determine a distância entre $P_{1}$ e $P_{2}$ ;

b) na condição de aproximação máxima entre as partículas, estime a razão aproximada entre a energia potencial elástica da mola e a variação da energia potencial gravitacional de $P_{2}$ ;

c) após acondição da Figura 2, determine a velocidade de $P_{2}$ ao atingir um vértice do dodecágono.

Resolução:

O ângulo externo do dodecágono regular é $360 ° / 12 = 30 °$ , logo BC faz $30 °$ com a horizontal.

Além disso, o lado BC mede $d_{0} + L_{0} = 1, 15 m$ . Uma constante que aparece o tempo todo:

a) Como a mola é muito rígida, $P_{2}$ fica praticamente parada e só $P_{1}$ se move. Na situação de aproximação máxima, $P_{1}$ fica em repouso instantâneo; até lá, ela percorreu $d_{0} - d$ ao longo do plano, descendo $∆ h = (d_{0} - d) sen 30 °$ . Conservação de energia para $P_{1}$ :

$mg (d_{0} - d) sen 30 ° = K_{e} q_{1} q_{2} (\frac{1}{d} - \frac{1}{d_{0}})$

Do enunciado:

$K_{e} q_{1} q_{2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot 20 \cdot 10^{- 6} \cdot 5 \cdot 10^{- 6} \Rightarrow K_{e} q_{1} q_{2} = 0, 9 J \cdot m$

Assim:

$2 (1 - d) = 0, 9 \frac{1 - d}{d} \Rightarrow (1 - d) (2 - \frac{0, 9}{d}) = 0 \Rightarrow d = 0, 45 m$

A outra raiz, $d = 1 m$ , é a posição de partida (velocidade nula também), e não a de aproximação máxima.

b) $P_{2}$ é empurrada contra a mola pela repulsão elétrica e pela componente do peso ao longo de BC. Como a constante $k$ é muito alta, a compressão $x$ é desprezível para o movimento de $P_{1}$ , e $P_{2}$ está praticamente em equilíbrio:

$kx = \frac{K_{e} q_{1} q_{2}}{d^{2}} + mg sen 30 ° \Rightarrow kx = \frac{0, 9}{0, 45^{2}} + 2 \Rightarrow kx ≅ 6, 44 N$

Energias associadas a essa compressão $x$ :

$U_{el} = \frac{{kx}^{2}}{2}$ ; $∆ U_{g} = - mgx sen 30 ° = - 2 x$

A razão não depende nem de $k$ nem de $x$ :

$\frac{U_{el}}{∆ U_{g}} = \frac{kx}{- 2 \cdot 2} \Rightarrow \frac{U_{el}}{∆ Ug} = - \frac{6, 44}{4} \Rightarrow \frac{U_{el}}{∆ U_{g}} ≅ - 1, 6$

c) Após o giro, BC fica horizontal e as partículas partem do repouso, com $P_{1}$ a $0, 45 m$ e $P_{2}$ a $0, 15 m$ de C. Na ausência de atrito e da mola, não há força externa horizontal e a quantidade de movimento do par se conserva. Como as massas são iguais, as duas partículas têm sempre velocidades de mesmo módulo $v$ , em sentidos opostos.

$P_{2}$ chega a C após $0, 15 m$ . Nesse ínterim, $P_{1}$ andou os mesmos $0, 15 m$ pra o lado B (e ainda está a $0, 40 m$ de B).

A separação passa a ser:

$r = 0, 45 + 2 \cdot 0, 15 \Rightarrow r = 0, 75 m$

Conservação de energia do par:

$K_{e} q_{1} q_{2} (\frac{1}{0, 45} - \frac{1}{0, 75}) = 2 \cdot \frac{{mv}^{2}}{2} \Rightarrow 0, 9 \cdot \frac{8}{9} = 0, 4 v^{2} \Rightarrow v^{2} = 2 \Rightarrow v_{2} = \sqrt{2} m / s$

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