Dissertativa 1 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

As raízes são ${\mathrm{z}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{cis}\left(\frac{\mathrm{k\pi }}{6}\right)$, $\mathrm{k}=0,1,\dots ,11$, todas sobre a circunferência unitária.

Os vértices de $\mathcal{P}$ estão nos ângulos $0^{\circ },{60}^{\circ },\dots ,{300}^{\circ }$, e os de $\mathcal{I}$ em ${30}^{\circ },{90}^{\circ },\dots ,{330}^{\circ }$. São dois hexágonos regulares inscritos no círculo de raio 1, um girado de ${30}^{\circ }$ em relação ao outro.

Área de cada hexágono de lado 1:

      ${\mathrm{A}}_{\mathcal{P}}={\mathrm{A}}_{\mathcal{I}}=6·\frac{\sqrt{3}}{4}·1^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Os lados de ambos os hexágonos estão à distância (apótema) $\mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ da origem, e as normais aos 12 lados apontam nas direções  $0^{\circ },{30}^{\circ },{60}^{\circ },\dots$. Logo, a interseção $\mathcal{P}\cap \mathcal{I}$ é o dodecágono regular circunscrito à circunferência de raio $\mathrm{a}$, cuja área é:

      ${\mathrm{A}}_{\cap }=12{\mathrm{a}}^2\mathrm{tg}{15}^{\circ }=12 · \frac{3}{4}(2-\sqrt{3})\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\cap }=18-9\sqrt{3}$

Pelo princípio da inclusão-exclusão:

      ${\mathrm{A}}_{\mathcal{P}\cup \mathcal{I}}={\mathrm{A}}_{\mathcal{P}}+{\mathrm{A}}_{\mathcal{I}}-{\mathrm{A}}_{\cap }=3\sqrt{3}-(18-9\sqrt{3})\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathcal{P}\cup \mathcal{I}}=\boxed{12\sqrt{3}-18}$