Dissertativa 9 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

Seja a elipse dada:

${\mathrm{x}}^2+4{\mathrm{y}}^2=16\to \frac{{\mathrm{x}}^2}{16}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{4}=1$

Com parâmetros:

Semieixo maior: $\mathrm{a}=4$.

Semieixo menor: $\mathrm{b}=2$.

Semidistância focal: $\mathrm{c}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$.

O coeficiente angular da reta tangente em um ponto $\mathrm{P}=\left({\mathrm{x}}_0, {\mathrm{y}}_0\right)$, com ${\mathrm{y}}_0=\pm \frac{\sqrt{16-{{\mathrm{x}}_0}^2}}{2}$, é dado por ${\mathrm{m}}_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$, e o coeficiente da reta normal é ${\mathrm{m}}_{\mathrm{n}}=-\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}$.

Derivando ${\mathrm{x}}^2+4{\mathrm{y}}^2=16$ implicitamente em relação a $\mathrm{y}$:

$\frac{{\mathrm{dx}}^2}{\mathrm{dx}}·\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\frac{\mathrm{d}\left(4{\mathrm{y}}^2\right)}{\mathrm{dy}}=0\to 2\mathrm{x}\left(-{\mathrm{m}}_{\mathrm{n}}\right)+8\mathrm{y}=0\to {\mathrm{m}}_{\mathrm{n}}=4\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

A equação da reta normal no ponto $\mathrm{P}=\left({\mathrm{x}}_0, {\mathrm{y}}_0\right)$ é dada por:

$\left(\mathrm{n}\right):\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0=\frac{4{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)$

No eixo $\mathrm{x}, \mathrm{y}=0$: $0-{\mathrm{y}}_0=\frac{4{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)\to \mathrm{x}=\frac{3}{4}{\mathrm{x}}_0\to \mathrm{Q}=\left(\frac{3}{4}{\mathrm{x}}_0; 0\right)$.

O ponto médio $\mathrm{M}$ de $\mathrm{P}=\left({\mathrm{x}}_0, \pm \frac{\sqrt{16-{{\mathrm{x}}_0}^2}}{2}\right)$ e $\mathrm{Q}=\left(\frac{3}{4}{\mathrm{x}}_0; 0\right)$ é dado por:

$\mathrm{M}=\left(\frac{{\mathrm{x}}_0+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{x}}_0}{2}; \frac{\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{16-{{\mathrm{x}}_0}^2}}{2}}+0}{2}\right)=\left(\frac{7{\mathrm{x}}_0}{8}; \pm \frac{\sqrt{16-{{\mathrm{x}}_0}^2}}{4}\right)$

Para o lugar geométrico de $\mathrm{M}$, calcula-se $\mathrm{x}=\frac{7{\mathrm{x}}_0}{8}\to {\mathrm{x}}_0=\frac{8\mathrm{x}}{7}$ e:

$\mathrm{y}=\pm \frac{\sqrt{16-{{\mathrm{x}}_0}^2}}{4}=\pm \frac{\sqrt{16-{\left({\displaystyle \frac{8\mathrm{x}}{7}}\right)}^2}}{4}$

Elevando ao quadrado:

$16{\mathrm{y}}^2=16-\frac{64}{49}{\mathrm{x}}^2\to \frac{4{\mathrm{x}}^2}{49}+{\mathrm{y}}^2=1$

Veja que o lugar geométrico é uma elipse. A intersecção dessa elipse com as retas $\mathrm{x}=\pm \mathrm{c}=\pm 2\sqrt{3}$ tem $\mathrm{y}$ dado por:

$\frac{4{\left(\pm 2\sqrt{3}\right)}^2}{49}+{\mathrm{y}}^2=1\to {\mathrm{y}}^2=1-\frac{48}{49}=\frac{1}{49}\to \mathrm{y}=\pm \frac{1}{7}$

Assim, os pontos de intersecção são:

$\boxed{\left(2\sqrt{3}; \frac{1}{7}\right), \left(2\sqrt{3}; -\frac{1}{7}\right), \left(-2\sqrt{3}; \frac{1}{7}\right) \mathrm{e} \left(-2\sqrt{3}; -\frac{1}{7}\right)}$