Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

a)

Suponha que a face de dimensões a e b tenha seus 4 vértices sobre a superfície da esfera. A altura máxima (e portanto volume máximo) relativa a essa face ocorrerá quando a face oposta também estiver inscrita na esfera, ou seja, o prisma está inscrito na esfera. Nesse caso, conforme figura, a altura do prisma será dada por:

$h^2={12}^2-{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2\to h=\sqrt{144-a^2-b^2}$

O volume do prisma é dado por:

$$\begin{gathered} V=a.b.h=a.b.\sqrt{144-a^2-b^2}\to \\ {V}^2=a^2.b^2\left(144-a^2-b^2\right) \end{gathered}$$

Aplicando a desigualdade entre a média geométrica e aritmética tem-se:

$$\begin{gathered} V^2\le {\left(\frac{a^2+b^2+144-a^2-b^2}{3}\right)}^3 \\ {V}^2\le (48{)}^3 \end{gathered}$$

Portanto o volume máximo é dado por:

$V_{\max }=(48{)}^{\frac{3}{2}}={\left(4\sqrt{3}\right)}^3=192\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^3$

 

b) Para atingir o máximo na desigualdade das médias, devemos ter a igualdade das parcelas, ou seja:

$a^2=b^2=144-a^2-b^2\leftrightarrow 3a^2=144\leftrightarrow a=4\sqrt{3 \mathrm{cm}}$

Ainda:

$h=\sqrt{144-2.a^2}=\sqrt{144-2.48}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} \mathrm{cm}$

Logo, as 3 dimensões do paralelepípedo são iguais a $4\sqrt{3}$, ou seja, o paralelepípedo é um cubo de aresta $4\sqrt{3} \mathrm{cm}$.