Dissertativa 3 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

Seja x a solução do problema. Primeiramente, note que $\mathrm{x}\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$.

Dado x inteiro não negativo, note que $\mathrm{x}>-\frac{1}{\mathrm{n}}$ para todo inteiro positivo n. Então:

      ${\mathrm{g}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=1,\forall \mathrm{x}\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$

Assim, dado $\mathrm{x}>0$:

      $f\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{n}}=\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\cdots$

que se trata da soma de uma PG infinita de razão 1/3. Sendo assim:

      $f\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{a}}_1}{1-\mathrm{q}}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

Ainda para $\mathrm{x}\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$, tem-se que:

      ${\mathrm{g}}_{\mathrm{n}}(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\{\begin{array}{cc}0,& \text{se }-\frac{1}{\mathrm{x}}\le -\frac{1}{\mathrm{n}}\\ 1,& \text{se }-\frac{1}{\mathrm{x}}>-\frac{1}{\mathrm{n}}\end{array}$

Note-se que $-\frac{1}{\mathrm{x}}>-\frac{1}{\mathrm{n}}\to \frac{1}{\mathrm{x}}<\frac{1}{\mathrm{n}}\to \mathrm{x}>\mathrm{n}$. Então:

      ${\mathrm{g}}_{\mathrm{n}}(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\{\begin{array}{cc}0,& \text{se }\mathrm{n}\ge \mathrm{x}\\ 1,& \text{se }\mathrm{n}<\mathrm{x}\end{array}$

de modo que

      $f(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{x}-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{n}}+\sum _{\mathrm{n}=\mathrm{x}}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{0}{3}\right)}^{\mathrm{n}}$

      $f(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\cdots +{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-1}$

      $f(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{1}{2}-({\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}+1}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}+2}+\cdots )$

      $f(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{1}{2}-\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}}{1-\frac{1}{3}}$

      $f(-\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-1}$

Desse modo, tem-se:

      $f\left(\mathrm{x}\right)+f(-\frac{1}{\mathrm{x}})\ge \mathrm{0,999}$

      $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-1}\ge \mathrm{0,999}$

      $1-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-1}\ge \mathrm{0,999}$

      $\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-1}\le \mathrm{0,001}$

      ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-1}\le \mathrm{0,002}$

      $\frac{1}{3^{\mathrm{x}-1}}\le \frac{2}{1000}$

      $3^{\mathrm{x}-1}\ge 500$

Assim, considerando x inteiro:

      $\mathrm{x}-1\ge 6$

      $\mathrm{x}\ge 7$

Portanto, o menor valor de x que satisfaz a condição é $\boxed{\mathrm{x}=7}$.