Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

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Questão 7

Dissertativa

Considere $m$ e $n$ inteiros positivos, com $m > n$ . Sejam $A = {[a_{i j}]}_{3 \times (n + 2)}$ e $B = {[b_{i j}]}_{(n + 2) \times 3}$ matrizes cujas entradas são dadas, respectivamente, pelas combinações

$a_{1 j} = (\begin{matrix} m \\ j - 3 \end{matrix}), a_{2 j} = (\begin{matrix} m \\ j - 2 \end{matrix}), a_{3 j} = (\begin{matrix} m \\ j - 1 \end{matrix})$

com $1 \leq j \leq n + 2$ e

$b_{i 1} = b_{i 2} = (\begin{matrix} n \\ n + 2 - i \end{matrix}), b_{i 3} = (\begin{matrix} n + 1 \\ n + 2 - i \end{matrix})$ ,

para $1 \leq i \leq n + 2$ . Em que,

$(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = \frac{a!}{b! (a - b)!}$

para $a$ e $b$ inteiros não-negativos, com $b \leq a$ e

$(\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}) = 0$

para $c < 0$ ou $c > a$

Usando as propriedades relacionadas a combinações, mostre que, para $m = 2^{10}$ e $n = 10^{3}$ , o traço de $A \cdot B$ é divisível por $1013$ .

Resolução:

Determinam-se as matrizes A e B:

$A = (\begin{matrix} (\binom{m}{- 2}) & (\binom{m}{- 1}) & (\binom{m}{0}) & \dots & (\binom{m}{n - 1}) \\ (\binom{m}{- 1}) & (\binom{m}{0}) & (\binom{m}{1}) & \dots & (\binom{m}{n}) \\ (\binom{m}{0}) & (\binom{m}{1}) & (\binom{m}{2}) & \dots & (\binom{m}{n + 1}) \end{matrix})$ $B = (\begin{matrix} (\binom{n}{n + 1}) & (\binom{n}{n + 1}) & (\binom{n + 1}{n + 1}) \\ (\binom{n}{n}) & (\binom{n}{n}) & (\binom{n + 1}{n}) \\ (\binom{n}{n - 1}) & (\binom{n}{n - 1}) & (\binom{n + 1}{n - 1}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{0}) & (\binom{n + 1}{0}) \end{matrix})$

Agora, chamando $A . B = C$ , tem-se:

$c_{11} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{n - 1 - k}) = (\binom{m + n}{n - 1}) c_{22} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{n - k}) = (\binom{m + n}{n}) c_{33} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{m}{k}) (\binom{n + 1}{n + 1 - k}) = (\binom{m + n + 1}{n + 1})$

$tr C = (\binom{m + n}{n - 1}) + (\binom{m + n}{n}) + (\binom{m + n + 1}{n + 1}) = (\binom{m + n + 2}{n + 1}) = \frac{(m + n + 2)!}{(m + 1)! (n + 1)!}$

Como $m = 2^{10}$ e $n = 10^{3}$ :

$tr C = \frac{2026!}{1025! 1001!} = \prod_{k = 1}^{1001} (\frac{2027 - k}{k})$

Note que esse produto é inteiro (por ser número binomial) e tem o fator 2026 no numerador, que é múltiplo de 1013. Como o denominador não tem o fator primo 1013, está provado que $tr (C)$ é divisível por 1013.

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