Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

Da fatoração em raízes de um polinômio, tem-se:

${\mathrm{y}}^3 - 4\mathrm{y} - 2 = \left(\mathrm{y} - {\mathrm{y}}_1\right)\left(\mathrm{y} - {\mathrm{y}}_2\right)\left(\mathrm{y} - {\mathrm{y}}_3\right)$

Fazendo $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}_1$:

${\left(-{\mathrm{x}}_1 \right)}^3- 4 \left(-{\mathrm{x}}_1 \right) - 2 = \left(-{\mathrm{x}}_1 - {\mathrm{y}}_1\right)\left(-{\mathrm{x}}_1 - {\mathrm{y}}_2\right)\left(-{\mathrm{x}}_1 - {\mathrm{y}}_3\right)$

Então: 

$-{\mathrm{x}}_1^3 + 4{\mathrm{x}}_1 - 2 =- \left({\mathrm{x}}_1 + {\mathrm{y}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_1 + {\mathrm{y}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_1 + {\mathrm{y}}_3\right)$

De modo análogo: 

$-{\mathrm{x}}_2^3 + 4{\mathrm{x}}_2 - 2 = -\left({\mathrm{x}}_2 + {\mathrm{y}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_2 + {\mathrm{y}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_2 + {\mathrm{y}}_3\right)$

Multiplicando as duas equações anteriores: 

$\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{y}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{y}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{y}}_3\right)\left({\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_3\right)=\left(-{\mathrm{x}}_1^3+4{\mathrm{x}}_1-2\right)\left(-{\mathrm{x}}_2^3+4{\mathrm{x}}_2-2\right)$

Note que o lado esquerdo da equação é o produto P desejado. Assim: 

$\mathrm{P}=\left(-{\mathrm{x}}_1^3+4{\mathrm{x}}_1-2\right)\left(-{\mathrm{x}}_2^3+4{\mathrm{x}}_2-2\right)\left(*\right)$

Como ${\mathrm{x}}_1$ é raiz da equação ${\mathrm{x}}^2 - 7\mathrm{x} - 3 = 0$,  tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1^2=7{\mathrm{x}}_1+3\Rightarrow {\mathrm{x}}_1^3=7{\mathrm{x}}_1^2+3{\mathrm{x}}_1\to {\mathrm{x}}_1^3=7\left(7{\mathrm{x}}_1+3\right)+3{\mathrm{x}}_1\Rightarrow \\ {\mathrm{x}}_1^3=52{\mathrm{x}}_1+21 \end{gathered}$$

Também: 

$x_2^3=52x_2+21$

Substituindo em (*): 

$$\begin{gathered} \mathrm{P}=\left(-52{\mathrm{x}}_1-21+4{\mathrm{x}}_1-2\right)\left(-52{\mathrm{x}}_2-21+4{\mathrm{x}}_2-2\right) \\ \mathrm{P}=\left(-48{\mathrm{x}}_1-23\right)\left(-48{\mathrm{x}}_2-23\right) \\ \mathrm{P}=2 304{\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2 + 1 104\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)+529 \end{gathered}$$

Das relações de Girard, tem-se  ${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=7$ e ${\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_2=-3$.

Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}=2 304·\left(-3\right) + 1 104.7 + 529 \\ \boxed{\mathrm{P}=1 345} \end{gathered}$$