Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

Seja ${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}={\log }_2{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}$. Como $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}\right)$ é PA de razão $\mathrm{r}>0$, tem-se ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}=2^{{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}}$, ou seja, $\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\right)$ é PG de razão $\mathrm{q}=2^{\mathrm{r}}>1$.

Da expressão do produto:

      ${\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_3·{\mathrm{x}}_5·{\mathrm{x}}_7·{\mathrm{x}}_9=2^{45}\Rightarrow {\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_3+{\mathrm{a}}_5+{\mathrm{a}}_7+{\mathrm{a}}_9=45$

Numa PA, os termos equidistantes do central somam o dobro dele $({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_9={\mathrm{a}}_3+{\mathrm{a}}_7=2{\mathrm{a}}_5)$:

      $5{\mathrm{a}}_5=45\Rightarrow {\mathrm{a}}_5=9\Rightarrow {\mathrm{x}}_5=2^9\Rightarrow {\mathrm{x}}_5=512$

Da soma dos termos de índice par, escrevendo-se cada um em função de ${\mathrm{x}}_5$ e de q:

      $\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_8={\mathrm{x}}_5({\mathrm{q}}^{-3}+{\mathrm{q}}^3)\\ {\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_6={\mathrm{x}}_5({\mathrm{q}}^{-1}+\mathrm{q})\end{array}$

Fazendo-se $\mathrm{u}=\mathrm{q}+\frac{1}{\mathrm{q}}$, conclui-se que ${\mathrm{q}}^3+\frac{1}{{\mathrm{q}}^3}={\mathrm{u}}^3-3\mathrm{u}$. Logo:

      ${\mathrm{x}}_5({\mathrm{u}}^3-3\mathrm{u}+\mathrm{u})=5540\Rightarrow 512({\mathrm{u}}^3-2\mathrm{u})=5540\Rightarrow {\mathrm{u}}^3-2\mathrm{u}=\frac{1385}{128}$

A equação em $\mathrm{u}$ não possui raiz racional. Sua única raiz real não possui forma fechada simples, o que impossibilita a resolução por um candidato em situação de prova.

Observação da equipe de professores:

A equipe de matemática do Poliedro Curso acredita ter havido um erro de digitação no enunciado.

Em vez de 5540, a banca provavelmente quis escrever 5440. Nesse caso, a equação em $\mathrm{u}$ tornar-se-ia:

      ${\mathrm{u}}^3-2\mathrm{u}=\frac{85}{8}\Rightarrow 8{\mathrm{u}}^3-16\mathrm{u}-85=0$

Pelo teste das raízes racionais, o candidato poderia intuir e verificar que $\mathrm{u}=\frac{5}{2}$ é raiz. Nesse caso:

      $8{\mathrm{u}}^3-16\mathrm{u}-85=0\Rightarrow (2\mathrm{u}-5)(4{\mathrm{u}}^2+10\mathrm{u}+17)=0$

Como o discriminante de $4{\mathrm{u}}^2+10\mathrm{u}+17$ é negativo, a única raiz real seria $\mathrm{u}=\frac{5}{2}$. Portanto:

      $\mathrm{q}+\frac{1}{\mathrm{q}}=\frac{5}{2}\Rightarrow \mathrm{q}=2\text{(pois }\mathrm{q}>1\text{)}$

Voltando-se à PG $\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\right)$:

      ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}=512·2^{\mathrm{i}-5}\Rightarrow {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}=2^{\mathrm{i}+4}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_7+{\mathrm{x}}_9=2^5+2^7+2^9+2^{11}+2^{13}=\boxed{10912}$

Diante do erro de digitação, sugere-se a anulação da questão.