Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

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Questão 2

Dissertativa

Seja a equação abaixo, onde $z \in ℂ$

$1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} = 0$

Ao escolher ao acaso uma raiz qualquer dessa equação, qual a probabilidade dela satisfazer a inequação abaixo?

$|z - \frac{3}{2}| \leq \frac{\sqrt{7}}{2}$

Resolução:

Determinando as raízes da equação, tem-se:

$1 - z^{6} = 0 \to (1 - z) (1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5}) = 0 \to$

$\{\begin{cases} z = 1 \\ ou \\ z_{i} = cis (\frac{iπ}{3}), i \in {1, 2, 3, 4, 5} \end{cases}$

Logo, as raízes de $1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} = 0$ são $z_{i} = cis (\frac{iπ}{3}), i \in {1, 2, 3, 4, 5}$

Calculando | $|z_{i} - \frac{3}{2}|$ para cada i, tem-se:

$i = 1 : |z_{1} - \frac{3}{2}| = |- 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i| = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$i = 2 : |z_{2} - \frac{3}{2}| = |- 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} i| = \sqrt{4 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$

$i = 3 : |z_{3} - \frac{3}{2}| = |- \frac{5}{2}| = \frac{5}{2}$

$i = 4 : |z_{4} - \frac{3}{2}| = |- 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} i| = \sqrt{4 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$

$i = 5 : |z_{5} - \frac{3}{2}| = |- 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} i| = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Logo, a probabilidade $P$ de $|z - \frac{3}{2}| \leq \frac{\sqrt{7}}{2}$ é $P = \frac{2}{5}$ .

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