Dissertativa 6 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

Para calcular a probabilidade, primeiramente, calcula-se o total de funções bijetoras e posteriormente as funções favoráveis:

Total: 9!

Favoráveis:

Há três possibilidades:

• $\mathrm{f}\left(1\right)=1\Rightarrow$8! Possibilidades
• $\mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}, \mathrm{f} \left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{b}, \mathrm{f} \left(\mathrm{b}\right)=1 \Rightarrow {\mathrm{C}}_{8,2}·2·1·6!=8!$
• $\mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}, \mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{b}, \mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{c}, \mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{d}, \mathrm{f}\left(\mathrm{d}\right)=\mathrm{e}, \mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)=\mathrm{f}, \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\right)=\mathrm{g}, \mathrm{f}\left(\mathrm{g}\right)=\mathrm{h}, \mathrm{f}\left(\mathrm{h}\right)=1\Rightarrow 8!$

Logo, a probabillidade $\mathrm{P}$ de ${\mathrm{f}}^9\left(1\right)=1$ é $\boxed{\mathrm{P}=\frac{3·8!}{9!}=\frac{1}{3}}$.