Dissertativa 6 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

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Questão 6

Dissertativa

As figuras mostram uma fonte sonora de frequência $f_{0}$ acoplada a um objeto motorizado em forma de casca esférica preso por um fio de comprimento L ao fundo de uma piscina. Tomando como referência a vista superior, o objeto executa um movimento circular uniforme no sentido anti-horário. Um observador localizado em O, na superfície da piscina, percebe as frequências $5 f_{0} / 4$ e $10 f_{0} / 11$ quando o objeto emite ao passar pelos pontos A e B, respectivamente.

Dados:

massa do objeto: $m = \sqrt{3} kg$ ;
aceleração da gravidade: $g = 10 m / s^{2}$ ;
comprimento do fio: $L = 10 m$ ;
distância AO: $d = 10 m$ ;
massa específica da água: $p = 1000 kg / m^{3}$ ;
velocidade do som no ar: $v_{s o m} = 340 m / s$ ;
$\sqrt{3} = 1, 732$ ;
$\frac{34^{2}}{\sqrt{3}} = 667, 4$ .

Observações:

o observador está no mesmo plano que o movimento circular da fonte sonora;
considere que o volume submerso do objeto não se altera durante o movimento;
para efeito de cálculos desconsidere a resistência da água e as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo.

Diante do exposto, determine:

a) a velocidade escalar do objeto;
b) o raio da trajetória;
c) a tração no fio;
d) o volume do objeto que permanece submerso durante o movimento.

Resolução:

Nos dois instantes, o observador está parado e a fonte se move. O efeito Doppler dependerá apenas da projeção $v_{r}$ da velocidade da fonte na direção fonte-observador, com $v_{r} > 0$ representando aproximação relativa.

$f' = f_{0} \frac{v_{som}}{v_{som} - v_{r}}$

a) Com a fonte na posição A, tem-se $v_{r} = v$ :

$\frac{5}{4} f_{0} = f_{0} \frac{v_{som}}{v_{som} - v} \Rightarrow v_{som} - v = \frac{4}{5} v_{som} \Rightarrow v = \frac{v_{som}}{5} \Rightarrow v = 68 m / s$

b) Com a fonte em B:

$\frac{10}{11} f_{0} = f_{0} \frac{v_{som}}{v_{som} + vcosθ} \Rightarrow vcosθ = \frac{v_{som}}{10} \Rightarrow vcosθ = 34 m / s \Rightarrow cosθ = \frac{1}{2}$

Portanto, $θ = 60 º$ . No triângulo ABO:

$tg θ = \frac{2 R}{d} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{2 R}{10} \Rightarrow R = 5 \sqrt{3} m$

c) Na vista lateral, o fio faz com a vertical um ângulo $α$ tal que $α = \frac{R}{L} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , ou seja, $α = 60 º$ .

Dinâmica do movimento circular do objeto:

$T sen α = \frac{{mv}^{2}}{R} \Rightarrow T = \frac{\sqrt{3} \cdot {(2 \cdot 34)}^{2}}{5 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow T = \frac{8}{5} \cdot \frac{34^{2}}{\sqrt{3}} = 1, 6 \cdot 667, 4 \Rightarrow T ≅ 1, 07 \cdot 10^{3} N$

d) Equilíbrio vertical do objeto:

$E = mg + Tcos α \Rightarrow E = \sqrt{3} \cdot 10 + 1068 \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow E \approx 17 + 534 \Rightarrow E \approx 551 N$

Da expressão do empuxo:

$E = pVg \Rightarrow V = \frac{551}{1000 \cdot 10} \Rightarrow V ≅ 55 \cdot 10^{- 3} m^{3}$

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