Dissertativa 3 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

Considere a equação $\mathrm{r}+{\mathrm{iz}}^8=0, \mathrm{r}>0$.

Tem-se:

${\mathrm{iz}}^8=-\mathrm{r}\Rightarrow {\mathrm{z}}^8=\mathrm{r}·\left(-\frac{1}{\mathrm{i}}\right)\Rightarrow {\mathrm{z}}^8=\mathrm{r}·\mathrm{i}\Rightarrow {\mathrm{z}}^8=\mathrm{r}·\mathrm{cis}\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Da 2ª Lei de Moivre:

$\mathrm{z}=\sqrt[8]{\mathrm{r}}·\mathrm{cis}\left(\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}+2\mathrm{k\pi }}{8}\right), \mathrm{k}=0, 1, 2, ..., 7$

As raízes são, portanto, vértices de um octógono regular centrado na origem e cujos vértices estão a uma distância de $\sqrt[8]{\mathrm{r}}$ dessa mesma origem.

Da área do octógono:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{oct}}=\sqrt{2}\Rightarrow 8·\frac{\sqrt[8]{\mathrm{r}}·\sqrt[8]{\mathrm{r}}·\mathrm{sen} 45°}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow 4·\sqrt[4]{\mathrm{r}}·\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow 2·\sqrt[4]{\mathrm{r}}=1\Rightarrow \mathrm{r}=\frac{1}{16}$

Para calcular o lado do octógono, Lei dos Cossenos considerando $\sqrt[8]{\mathrm{r}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$:

${\mathcal{l}}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2-2·\frac{1}{\sqrt{2}}·\frac{1}{\sqrt{2}}·\cos 45°\Rightarrow {\mathcal{l}}^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \mathcal{l}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}$

Portanto, $\boxed{\mathcal{l}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}}$ e $\boxed{\mathrm{r}=\frac{1}{16}}$.