Questão 1 - 1ª Fase - ITA 2027

Sejam $\left({\mathrm{a}}_1, {\mathrm{b}}_1, \mathrm{c}\right)$ e $\left({\mathrm{a}}_2, {\mathrm{b}}_2, \mathrm{c}\right)$ as medidas do semieixo maior, semieixo menor e semidistância focal das elipses ${\mathrm{E}}_1$ e ${\mathrm{E}}_2$ respectivamente. Observe-se que, como as elipses têm os  mesmos focos, elas apresentam a mesma distância focal $2\mathrm{c}$. Do enunciado, a excentricidade de  ${\mathrm{E}}_1$ é o dobro da excentricidade de ${\mathrm{E}}_2$. Assim:

$\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{a}}_1}=2·\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{a}}_2}\Rightarrow {\mathrm{a}}_2=2·{\mathrm{a}}_1$

A área de ${\mathrm{E}}_2$ é 6 vezes a área de ${\mathrm{E}}_1$:

${\mathrm{\pi a}}_2{\mathrm{b}}_2=6·{\mathrm{\pi a}}_1{\mathrm{b}}_1\iff 2·{\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_2=6·{\mathrm{a}}_1·{\mathrm{b}}_1\iff {\mathrm{b}}_2=3·{\mathrm{b}}_1$

Lembrando que ${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}_2^2-{\mathrm{b}}_2^2={\mathrm{a}}_1^2-{\mathrm{b}}_1^2\iff {\left(2{\mathrm{a}}_1\right)}^2-{\left(3{\mathrm{b}}_1\right)}^2={\left({\mathrm{a}}_1\right)}^2-{\left({\mathrm{b}}_1\right)}^2 \\ 3{\left({\mathrm{a}}_1\right)}^2=8{\left({\mathrm{b}}_1\right)}^2\iff {\left({\mathrm{b}}_1\right)}^2=\frac{3·{\left({\mathrm{a}}_1\right)}^2}{8} \end{gathered}$$

Portanto:

$$\begin{gathered} {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}_1^2-{\mathrm{b}}_1^2={\mathrm{a}}_1^2-\frac{3·{\left({\mathrm{a}}_1\right)}^2}{8}=\frac{5·{\left({\mathrm{a}}_1\right)}^2}{8}\iff \\ \iff \frac{{\mathrm{c}}^2}{{\mathrm{a}}_1^2}=\frac{5}{8}\iff \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\sqrt{\frac{10}{16}}=\boxed{\frac{\sqrt{10}}{4}} \end{gathered}$$