Questão 10 - 1ª Fase - ITA 2027

Seja k o grau de $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)$, k natural:

$\mathrm{grau}\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{k}$

Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{grau}\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right)={\mathrm{k}}^2 \\ \mathrm{grau}\left(\mathrm{P}\left({\mathrm{x}}^3\right)\right)=3\mathrm{k} \end{gathered}$$

Supondo que um desses polinômios tenha grau 8:

${\mathrm{k}}^2=8\Rightarrow \mathrm{k}=\pm 2\sqrt{2}$ (absurdo)

$3\mathrm{k}=8\Rightarrow \mathrm{k}=\frac{8}{3}$ (absurdo)

Portanto, para que $\mathrm{P}\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right)-\mathrm{P}\left({\mathrm{x}}^3\right)$ tenha grau 8, os graus de ambos os polinômios devem ser iguais e que seus coeficientes líderes sejam iguais.

${\mathrm{k}}^2=3\mathrm{k}\Rightarrow \mathrm{k}=3$

Seja a o coeficiente líder de $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)$. Tem-se:

$$\begin{gathered} \mathrm{coeficiente} \mathrm{líder} \mathrm{de} \mathrm{P}\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{a}^4 \\ \mathrm{coeficiente} \mathrm{líder} \mathrm{de} \mathrm{P}\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{a} \end{gathered}$$

Assim:

${\mathrm{a}}^4=\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{a}=1$ ( $a\ne 0$, pois é coeficiente líder)

Como $1+i$ é raiz de $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)$ de coeficientes reais, então $1-\mathrm{i}$ também é raiz. Desse modo, sendo c a terceira raiz de $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)$, tem-se, pela fatoração de D'Alembert:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv 1·\left(\mathrm{x}-\left(1+\mathrm{i}\right)\right)\left(\mathrm{x}-\left(1-\mathrm{i}\right)\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{c}\right) \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv \left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{c}\right) \end{gathered}$$

Como $\mathrm{P}\left(1\right)=-1$:

$$\begin{gathered} \left(1^2-2·1+2\right)\left(1-\mathrm{c}\right)=-1 \\ \mathrm{c}=2 \end{gathered}$$

Desse modo:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-2\right)$

Então:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(-1\right)=\left({\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+2\right)\left(-1-2\right) \\ \boxed{\mathrm{P}\left(-1\right)=-15} \end{gathered}$$