Questão 18 - 1ª Fase - ITA 2027

No final do aro:

(a)

 

(b)

Tomando como positivo o sentido de $\mathrm{\theta }$ crescente, a componente tangencial da resultante é:

${\mathrm{F}}_{\mathrm{t}}={\mathrm{m\Omega }}^2 \mathrm{R} \mathrm{sen\theta } \mathrm{cos\theta }-\mathrm{mg} \mathrm{sen\theta }=\mathrm{mR} \mathrm{sen\theta }\left({\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{cos\theta }-\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{R}}\right)$  (I)

Equilíbrio:

${\mathrm{F}}_{\mathrm{t}}=0\Rightarrow \mathrm{sen\theta }=0$  ou  ${\mathrm{cos\theta }}_0=\frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{R}}$

A solução ${\mathrm{\theta }}_0>0$ só existe se ${\mathrm{cos\theta }}_0<1$:

$\frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{R}}<1\Rightarrow \mathrm{\Omega }>\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{R}}}$ (II)

Estabilidade:

Em (I), o fator $\mathrm{sen\theta }$ é positivo para $0<\mathrm{\theta }<\mathrm{\pi }$; o sinal de ${\mathrm{F}}_{\mathrm{t}}$ é o do parêntese. Como $\mathrm{cos\theta }$ é decrescente:

$\mathrm{\theta }>{\mathrm{\theta }}_0\Rightarrow \mathrm{cos\theta }<{\mathrm{cos\theta }}_0=\frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{R}}\Rightarrow {\mathrm{F}}_{\mathrm{t}}<0$ (aponta para ${\mathrm{\theta }}_0$)

$\mathrm{\theta }<{\mathrm{\theta }}_0\Rightarrow \mathrm{cos\theta }>{\mathrm{cos\theta }}_0\Rightarrow {\mathrm{F}}_{\mathrm{t}}>0$ (aponta para ${\mathrm{\theta }}_0$)

Deslocada de ${\mathrm{\theta }}_0$ em qualquer sentido, a miçanga é empurrada de volta: o equilíbrio em ${\mathrm{\theta }}_0$ é estável sempre que esse equilíbrio existe. Pelo mesmo raciocínio, para $\mathrm{\Omega }>\sqrt{\raisebox{1ex}{$\mathrm{g}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{R}$}\right.}$ o ponto mais baixo ($\mathrm{\theta }=0$) torna-se instável, pois ${\mathrm{F}}_{\mathrm{t}}>0$ para $\mathrm{\theta }$ pequeno.

$\boxed{\Rightarrow \mathrm{\Omega } \in ]\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{R}}, } +\infty [}$