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Questão 4 - 1ª Fase - ITA 2027

Gabarito

  • Questão ativa

  • Já visualizadas

  • Não visualizadas

  • Resolução pendente

  • ANL

    Questão anulada

  • S/A

    Sem alternativas

Questão 4

Objetiva
4

Considere as afirmações abaixo:

I. Sejam A, B∈Mnℝ, com A invertível, At=A-1 e B simétrica. Então, AIn-BAt=A-B.

II. Sejam A, B∈Mnℝ matrizes que comutam. Se A2=B2, então A=B ou A=-B.

III. Para quaisquer números naturais n e m, existem matrizes A∈Mn,mℝ e B∈Mm,nℝtais que AB é invertível.

É (São) VERDADEIRA(S):

Alternativas

  1. A

     Apenas I.

  2. B

     Apenas II.

  3. C

     Apenas III.

  4. D

     Apenas I e II.

  5. E

     Apenas I e III.

Gabarito:
    A

Afirmação I: verdadeira.  AI-BAt=AIt-BAt=AI-AtBt=A(I-A-1B)=A-AA-1B=A-B

Afirmação II: falsa. Basta tomar uma matriz Nilpotente e a matriz nula: A=0100 e B=0000, pois A2=B2=0000.

Afirmação III: falsa. Se n>m, detAB=0.
Verificam-se n=3 e m=2:
AB=adbecfghijkl=ad0be0cf0ghijkl000⇒det(AB)=0

4

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