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Questão 9 - 1ª Fase - ITA 2027

Gabarito

  • Questão ativa

  • Já visualizadas

  • Não visualizadas

  • Resolução pendente

  • ANL

    Questão anulada

  • S/A

    Sem alternativas

Questão 9

Objetiva
9

Para todo subconjunto S ⊂ n ∈ ℕ: 1 ≤ n ≤ 60 com 9 elementos, considere as seguintes afirmações:

  1. Existe um subconjunto S com 4 elementos cuja soma é menor ou igual a 220.
  2. Existe um subconjunto A de S, com A ≠ ∅ e A ≠ S, tal que a soma dos elementos de A é igual à soma dos elementos de S \ A.
  3. Existem subconjuntos A e B de S, distintos e não vazios, tais que a soma dos elementos de A é igual à soma dos elementos de B.

É (São) VERDADEIRAS(S):

Alternativas

  1. A

    Apenas I.

  2. B

    Apenas II.

  3. C

    Apenas III.

  4. D

    Apenas I e III.

  5. E

    I, II e III.

Gabarito:
    D

Afirmação I: verdadeira. O conjunto com os maiores elementos 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 tem como soma dos quatro menores 52+53+54+55=214, que é menor que 220. Qualquer outro conjunto terá elementos menores, logo se conseguirá alguma soma menor.

Afirmação II: falsa. S deveria ter sempre uma soma par para que A e S\A tivessem somas iguais, o que é absurdo, pois basta tomar 9 números ímpares para se ter uma soma ímpar.

Afirmação III: verdadeira. Todo subconjunto S com 9 elementos tem 29-1=511 subconjuntos. Mas o número de somas possíveis é 504 (soma mínima é 1 e a máxima é 52+53+54+55+56+57+58+59+60 = 504). Como há mais subconjuntos que somas, pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao menos dois subconjuntos devem ter a mesma soma.

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