Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

Se $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)$ é divisível por $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$, todas as raízes de $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$ também são raízes de $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)$ (mesmo levando em conta as suas multiplicidades).

Pelo Teorema das raízes racionais, verifica-se que $2$ é raiz de $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$. Desse modo, fatorando $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$, tem-se:

$\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-2\right){\left(\mathrm{x}+1\right)}^2$

Como $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)$ é divisível por $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$, que tem raízes $2$ e $-1$, então $\mathrm{p}\left(-1\right)=0$. Assim:

${\left(-1\right)}^7+3\mathrm{a}·{\left(-1\right)}^6-{\left(-1\right)}^5-5\mathrm{a}{\left(-1\right)}^4+7·{\left(-1\right)}^3-7\mathrm{a}·{\left(-1\right)}^2+9·\left(-1\right)+\mathrm{a}=0$

$-1+3\mathrm{a}+1-5\mathrm{a}-7-7\mathrm{a}-9+\mathrm{a}=0$

$8\mathrm{a}+16=0$

$\mathrm{a}=-2$

Desse modo:

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^7-6{\mathrm{x}}^6-{\mathrm{x}}^5+10{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^3+14{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}-2$

Ao dividir $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)$ por $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$, obtém-se:

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\equiv \left({\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}-2\right)·\left({\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1\right)$

É preciso, então, determinar as raízes de $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1$.

Note que $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)$ é um polinômio recíproco. Tem-se:

${\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1=0$

Dividindo ambos os lados por ${\mathrm{x}}^2$:

$\left({\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right)-6\left(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+2=0$

Seja $\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{y}$, de modo que ${\mathrm{y}}^2-2={\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$. Substituindo na equação anterior:

$\left({\mathrm{y}}^2-2\right)-6\mathrm{y}+2=0\Rightarrow {\text{y}}^2-6\mathrm{y}=0\Rightarrow y=0 ou y=6$

Caso 1: $\mathrm{y}=0$

$\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=0\to {\mathrm{x}}^2=-1\to \mathrm{x}=\pm \mathrm{i}$

Caso 2: $\mathrm{y}=6$

$\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=6\Rightarrow {\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1=0\Rightarrow \mathrm{x}=3\pm 2\sqrt{2}$

Desse modo, $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)$ tem $-1$como raiz dupla e $2$, $\mathrm{i}$, $-\mathrm{i}$, $3+2\sqrt{2}$e $3-2\sqrt{2}$como raízes simples.