Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

Seja:

$\mathrm{E}=\frac{2{\mathrm{n}}^3 - 5{\mathrm{n}}^2- 52\mathrm{n} + 90}{{\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 27}$

Note que:

$2{\mathrm{n}}^2 - 5{\mathrm{n}}^2 - 52\mathrm{n} + 90 = 2\mathrm{n}\left({\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 27\right) - \left({\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} -27\right) + 63$

Assim:

$\mathrm{E}= 2\mathrm{n} - 1 +\frac{63}{{\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 27}$

Como $\mathrm{E} \in \mathrm{\mathbb{Z}}$, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{n}}^2- 2\mathrm{n} - 27 = \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \mathrm{k}\in \left\{\pm 63, \pm 21, \pm 9, \pm 7, \pm 3, \pm 1\right\} \end{gathered}$$

Note que ${\mathrm{n}}^2-2\mathrm{n} - \left(\mathrm{k} + 27\right)= 0$.

Como $\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, tem-se:

$$\begin{gathered} ∆ = 4 + 4\left(\mathrm{k} + 27\right) = {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{m}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) \\ {\mathrm{m}}^2= 4\left(\mathrm{k} + 28\right) \end{gathered}$$

Logo, $\mathrm{k} + 28$ precisa ser um quadrado perfeito.

Entre as opções listadas para $\mathrm{k}$, as únicas que satisfazem as condições do enunciado são $\mathrm{k}=-3$ e $\mathrm{k}=21$.

Analisando os dois casos, tem-se:

Caso 1: $\mathrm{k}=-3$

$$\begin{gathered} {\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 27= -3 \\ {\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 24= 0 \\ \mathrm{n}\in \left\{-4; 6\right\} \end{gathered}$$

Caso 2: $\mathrm{k}=21$

$$\begin{gathered} {\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 27= 21 \\ {\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n} - 48= 0 \\ \mathrm{n}\in \left\{-6; 8\right\} \end{gathered}$$

Como ${\mathrm{n}}^2 - 2\mathrm{n}- 27\ne 0$ para $\mathrm{n}\in \left\{-6; -4; 6; 8\right\}$, essas são as soluções do problema.

$\mathrm{S}= \left\{-6; -4; 6; 8\right\}$