Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 3 - IME 2027

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Questão 10

Dissertativa

A Praia da Areia Preta, em Guarapari (ES), é composta predominantemente por monazita, mineral que constitui uma importante fonte natural de tório e urânio. Uma amostra de monazita apresenta aproximadamente 9% de ${ThO}_{2}$ e 0,35% de $U_{3} O_{8}$ em massa. Os isótopos ${}^{208}{Pb} e {}^{206}{Pb}$ correspondem a produtos estáveis finais das séries de decaimento radioativo de ${}^{232}{Th} e {}^{238}U$ respectivamente. A razão isotópica atômica molar ${}^{208}{Pb} / {}^{232}{Th}$ , determinada para uma amostra hipotética de areia monazítica da Praia da Areia Preta, apresentou o valor de 0,024. As meias-vidas dos radionuclídeos ${}^{232}{Th} e {}^{238}U$ são, respectivamente, $1, 41 \times 10^{10}$ anos e $4, 47 \times 10^{9}$ anos. Suponha que os isótopos ${}^{208}{Pb}, {}^{206}{Pb}, {}^{232}{Th} e {}^{238}U$ tenham permanecido integralmente no sistema desde aformação do mineral de monazita. Admita que todo o chumbo presente na monazita seja de origem exclusivamente radiogênica.

Com base nessas informações, estime a idade da amostra hipotética de areia monazítica da Praiada Areia Preta.

Resolução:

Pode-se analisar pelo decaimento do $Th$ . De fato:

$\begin{matrix} {Th}^{232} & \overset{(mol)}{\to} & {Pb}^{208} + \dots \\ IN: & m_{0} & 0 \\ R: & - x & + x \\ T: & m_{0} - x & x \end{matrix}$

Sendo $\frac{x}{m_{0} - x} = 0, 024 \Rightarrow x = 0, 024 m_{0} - 0, 024 x \Rightarrow x = \frac{24}{1024} m_{0}$ .

Logo, $m_{0} - x = \frac{1000}{1024} m_{0}$ .

Como $m = m_{0} e^{- kt} \Rightarrow \frac{1000}{1024} m_{0} = m_{0} e^{- kt} \Rightarrow \ln \frac{10^{3}}{2^{10}} = - kt$ .

$\ln 2^{- 7} \cdot 5^{3} = - \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} \cdot t \Rightarrow - 7 \ln 2 + 3 \ln 5 = - (\ln 2) \cdot \frac{t}{t_{1 / 2}} \Rightarrow$

$\frac{t}{t_{1 / 2}} = 7 - 3 \frac{\ln 5}{\ln 2} \Rightarrow \frac{t}{t_{1 / 2}} = 7 - 3 \cdot \frac{1, 609}{0, 693} = 0, 03463$

$t = 1, 41 \cdot 10^{10} \cdot 0, 03463 \Rightarrow t = 4, 88 \cdot 10^{8} anos$

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