Dissertativa 1 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

Em um laboratório de engenharia de materiais, um aparato similar a um pêndulo invertido é utilizado para ensaiar a rigidez torcional de corpos de prova poliméricos cilíndricos. O sistema consiste em uma haste rígida e homogênea de massa M e comprimento L, firmemente acoplada em sua extremidade inferior ao centro do corpo de prova polimérico, o qual permanece fixo em seus mancais e atua como uma mola torcional. Quando a haste sofre uma deflexão angular $\theta$ em relacão à vertical, o material polimérico torce e exerce um torque restaurador de natureza elástica ${\tau }_{\mathit{e}}\mathit{=}\mathit{-}k\theta$, em que k é a constante de rigidez torcional efetiva do corpo de prova. Durante o ensaio contínuo, a haste é inicialmente posicionada na vertical ($\theta$ = 0), e uma câmara térmica no entorno do polímero eleva lentamente sua temperatura. Sabe-se que, ao se aproximar da transição vítrea, a rigidez k do polímero diminui gradativamente. Sabendo que a aceleração da gravidade local é g, responda aos itens a seguir.

a) Determine a rigidez torcional crítica $k_{\mathit{c}}$ do polímero em função de M, g e L, sabendo que a posição $\theta$ = 0 deixa de ser um ponto de equilíbrio estável para $k\mathit{<}{k}_{\mathit{c}}$.

b) Identifique a quantidade e natureza dos pontos de equilíbrio do sistema (estável e/ou
instável) de acordo com os possíveis valores de $\frac{\mathrm{k}}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{c}}}>0$ no intervalo $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.
c) Tomando o mancal inferior como referência zero de altura para a energia gravitacional,
esboce os possíveis gráficos representativos da energia potencial total do sistema $\left(U_{total}\right)$ em função do ângulo $\theta$, no intervalo $\mathit{-}\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{2}}\mathit{<}\theta \mathit{<}\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{2}}$, de acordo com as situações identificadas no item b.