Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

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Questão 8

Dissertativa

Em um determinado experimento inspirado no funcionamento de um espectrômetro de massa, partículas carregadas são inicialmente aceleradas, a partir do repouso, por uma diferença de potencial $V > 0$ . Em seguida, elas penetram, no vácuo, em uma região onde somente um campo magnético uniforme $\vec{B}$ atua. Uma partícula de massa m e carga $q > 0$ entra nessa região pelo ponto 1, com velocidade $\vec{v}$ , formando um ângulo $θ$ com a direção do campo magnético, conforme ilustra a figura abaixo.

Observa-se que, durante a trajetória, a partícula volta a passar pela mesma linha de campo na qual o movimento teve início. Em um desses retornos, ela passa pelo ponto 2, situado a uma distância $L$ do ponto 1. Desprezando efeitos relativísticos, determine

a) o módulo da velocidade da partícula ao penetrar na região de campo magnético;
b) o tipo de movimento realizado pela partícula no interior da região de campo magnético, justificando sua resposta;
c) a condição que $\cos θ$ deve satisfazer para que a partícula passe pelo ponto 2. Expresse sua resposta em função dos dados do problema.

Resolução:

a) A partir do repouso, conservando energia:

$qV = \frac{m v^{2}}{2}$

Portanto:

$v = \sqrt{\frac{2 qV}{m}}$

b) Decompondo a velocidade na direção paralela a $\vec{B}$ e na perpendicular:

$v_{∥} = v \cos θ$

$v_{⊥} = v sen θ$

A força magnética depende somente da componente perpendicular da velocidade e fica contida no plano perpendicular a $\vec{B}$ durante todo o movimento. Por esse motivo, não há força na direção de $\vec{B}$ , e a partícula realiza um movimento uniforme nessa direção.

No plano perpendicular a $\vec{B}$ , a partícula realiza um movimento circular uniforme em que $F = q v_{⊥} B$ atua como resultante centrípeta. Esse movimento tem raio e período dados por:

$R = \frac{m v sen θ}{qB}$

$T = \frac{2 πm}{qB}$

O movimento resultante é, portanto, a composição de um MCU no plano perpendicular a $\vec{B}$ com um MU na direção de $\vec{B}$ , que resulta em um movimento helicoidal uniforme.

c) A cada período, a partícula volta a cruzar com a mesma linha de campo. Para passar pelo ponto 2, a partícula deve percorrer uma distância L na direção de $\vec{B}$ em n períodos, com $n \in ℕ *$ :

$L = v \cos θ (nT)$

$L = v \cos θ \cdot n \frac{2 πm}{qB}$

$\cos θ = \frac{qBL}{2 πnm v}$

Com o valor de $v$ do item a:

$\cos θ = \frac{BL}{2 πn} \sqrt{\frac{q}{2 mV}}, n \in ℕ *$

Observação: Como $\cos θ \leq 1$ , só servem os valores de n com $n \geq \frac{BL}{2 π} \sqrt{\frac{q}{2 mV}}$ . Com $n = 1$ , a partícula chega a 2 no primeiro retorno.

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