Dissertativa 3 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

Enquanto não escorrega, a massa acompanha o carrossel e possui aceleração tangencial e aceleração centrípeta.

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{t}}={\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{R}}\\ {\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{cp}}={\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\sqrt{{\mathrm{\alpha }}^2{\mathrm{R}}^2 + {\mathrm{\omega }}^4{\mathrm{R}}^2}$

O atrito fornecerá essa aceleração e, quando atingir seu valor máximo, o objeto escorregará.

Supondo que o escorregamento ocorra para uma velocidade angular ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}$:
${\mathrm{f}}_{\mathrm{at}{ }_{\max }}=\mathrm{m}\sqrt{{\mathrm{\alpha }}^2{\mathrm{R}}^2+{\mathrm{\omega }}^4{\mathrm{R}}^2}\Rightarrow {\mathrm{\mu }}_{\mathrm{e}}\mathrm{mg}=\mathrm{m}\sqrt{{\mathrm{\alpha }}^2{\mathrm{R}}^2+{\mathrm{\omega }}^4{\mathrm{R}}^2}\Rightarrow {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}^2=\sqrt{\left(\frac{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{e}}\mathrm{g}}{\mathrm{R}}\right)-{\mathrm{\alpha }}^2}\left(\mathrm{I}\right)$

Como $\mathrm{\omega }=\mathrm{\alpha t}$, o instante do escorregamento e a respectiva velocidade linear são:

${\mathrm{t}}_{\mathrm{e}}=\frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{a}}\left(\mathrm{II}\right)$

${\mathrm{v}}_{\mathrm{e}}={\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\mathrm{R} \left(\mathrm{III}\right)$

a) Após o atrito ceder, a massa descreverá um lançamento horizontal com altura h. Seja ${\mathrm{t}}_{\mathrm{q}}$ a duração da queda.

$\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{gt}}_{\mathrm{q}}^2}{2}\Rightarrow {\mathrm{t}}_{\mathrm{q}}=\sqrt{\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}} \left(\mathrm{IV}\right)$

Vista de cima, a massa parte da borda, a uma distância R do eixo, e avança d na direção da tangente, perpendicular ao raio.

$\mathrm{d} = {\mathrm{v}}_{\mathrm{e}}{\mathrm{t}}_{\mathrm{q}} \Rightarrow \mathrm{d} = {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\mathrm{R} \sqrt{\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}} \left(\mathrm{V}\right)$

Como a origem fica no solo e sob o eixo:

${\mathrm{D}}^2 = {\mathrm{R}}^2 + {\mathrm{d}}^2 \stackrel{\left(\mathrm{V}\right)}{\Rightarrow } {\mathrm{D}}^2= {\mathrm{R}}^2+\frac{2{\mathrm{h\omega }}_{\mathrm{e}}^2{\mathrm{R}}^2}{\mathrm{g}}\Rightarrow \mathrm{D}=\mathrm{R}\sqrt{1+\frac{2{\mathrm{h\omega }}_{\mathrm{e}}^2}{\mathrm{g}}}\stackrel{\left(\mathrm{I}\right)}{\Rightarrow }\boxed{\mathrm{D}=\mathrm{R}\sqrt{1+\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{e}}\mathrm{g}}{\mathrm{R}}\right)}^2-{\mathrm{\alpha }}^2}}}$

b) Ao tocar o solo sem quicar, a massa perde a velocidade vertical, mantém sua velocidade horizontal e desliza sob atrito cinético:

${\mathrm{\mu }}_{\mathrm{c}}\mathrm{mg}=\mathrm{m\alpha }\Rightarrow \mathrm{\alpha }={\mathrm{\mu }}_{\mathrm{c}}\mathrm{g}$

Seja ${\mathrm{t}}_{\mathrm{f}}$ o tempo de frenagem, isto é, o tempo entre tocar o solo e parar:

${\mathrm{t}}_{\mathrm{f}} =\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{\alpha }}\stackrel{\left(\mathrm{III}\right)}{\Rightarrow } {\mathrm{t}}_{\mathrm{f}} = \frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\mathrm{R}}{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{c}}\mathrm{g}}$

O instante de parada será a soma ${\mathrm{t}}_{\mathrm{e}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{q}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{f}}$:

${\mathrm{t}}_{\mathrm{p}}={\mathrm{t}}_{\mathrm{e}} + {\mathrm{t}}_{\mathrm{q}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{f}} \Rightarrow {\mathrm{t}}_{\mathrm{p}}=\frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{\alpha }}+\sqrt{\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}} + \frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\mathrm{R}}{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{c}}\mathrm{g}} \Rightarrow \boxed{{\mathrm{t}}_{\mathrm{P}}=\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha }} + \frac{\mathrm{R}}{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{c}}\mathrm{g}}\right) \sqrt[4]{{\left(\frac{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{e}}\mathrm{g}}{\mathrm{R}}\right)}^2- {\mathrm{\alpha }}^2}+ \sqrt{\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}}}$