Dissertativa 9 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

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Questão 9

Dissertativa

Considere duas ondas eletromagnéticas coerentes entre si que se propagam no vácuo ao longo do eixo $x$ . A superposição dos campos elétricos dessas ondas, ambos paralelos ao eixo $z$ , é dada pelo seguinte campo elétrico resultante:

$\vec{E} = E_{0} \{\cos [k (x + d) - ω t] + \cos (k x - ω t)\} \hat{z}$ ,

em que $k$ é o número de onda, e $ω$ é a frequência angular. $E_{0}$ e $d$ são constantes positivas. Assuma distâncias $d$ que satisfazem a relação $k d = n π$ para $n = 0, 1, 2 . . .$ . Responda aos itens a seguir.

a) Mostre que $\vec{E}$ pode ser reescrito como uma onda que se propaga no sentido $x > 0$ , com
amplitude expressa apenas em função de $E_{0}$ e $n$ .

b) Indique a relação entre $n$ e o tipo de interferência gerada por essa superposição.

c) Determine o campo magnético $\vec{B}$ resultante dessa superposição, indicando sua orientação, considerando que possui amplitude de módulo $B_{0}$ .

Resolução:

$\vec{E} = E_{0} [\cos (kx - ωt + kd) + \cos (kx - ωt)] \hat{z}$

Do enunciado, $kd = nπ$ :

$\vec{E} = E_{0} [\cos (kx - ωt + nπ) + \cos (kx - ωt)] \hat{z}$

Como $\cos (θ + nπ) = {(- 1)}^{n} \cos θ$ , obtém-se:

$\vec{E} = E_{0} (1 + {(- 1)}^{n}) \cos (kx - ωt) \hat{z}$

A amplitude da onda resultante é, portanto,

$E_{result} = E_{0} (1 + {(- 1)}^{n})$

E $\cos (kx - ωt) = \cos (ωt - kx)$ representa uma onda que se propaga no sentido positivo de $x$ .

b) Se $n$ for par:

$E_{result} = E_{0} (1 + 1) = 2 E_{0}$

Essa condição caracteriza a interferência construtiva.

Se $n$ for ímpar:

$E_{result} = E_{0} (1 - 1) = 0$

Essa condição caracteriza a interferência destrutiva total.

c) Do enunciado, o campo magnético resultante da superposição possui amplitude $B_{0}$ ,

portanto, seu valor algébrico deve ser:

$B = B_{0} \cos (kx - ωt)$

Porém, vetorialmente, o sentido de propagação, $\hat{x}$ , é resultado do produto vetorial entre $\vec{E}$ e $\vec{B}$ nessa ordem. Como $\vec{E}$ aponta para $\hat{z}$ , $\vec{B}$ deve apontar para $- \hat{y}$ , pois:

$\hat{z} \times (- \hat{y}) = \hat{x}$

Portanto:

$\vec{B} = - B_{0} \cos (kx - ωt) \hat{y}$

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