Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

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Questão 7

Dissertativa

Um estudante de engenharia deseja montar um sistema para monitorar, com a máxima precisão, a deformação mecânica de uma viga metálica, minimizando o efeito térmico, por meio de dispositivos resistivos $R_{i}$ (com $i = 1, . . ., 4$ ) fixados na viga e ligados em uma ponte de Wheatstone não equilibrada e alimentada por uma fonte ideal de tensão constante $V_{s}$ . Cada dispositivo utilizado pode ser um resistor de resistência $R_{0}$ constante ou um extensômetro de resistência nominal $R_{0}$ , fator G de calibração e coeficiente térmico linear $α$ . Para pequenas variações, a resistência de um extensômetro varia segundo $\frac{∆ R}{R_{0}} = Gε + α ∆ T$ , em que $ε$ é a deformação mecânica, com $ε > 0$ para tração e $ε < 0$ para compressão, e $∆ T$ é a variação de temperatura. A saída da ponte é definida por $V_{0} = V_{D} - V_{B}$ , medida por um voltímetro ideal, conforme ilustra a figura. Considere sempre o regime linear de pequenas variações, de modo que termos quadráticos e produtos entre pequenas correções possam ser desprezados, tais como ${(α ∆ T)}^{2}$ , $ε^{2}$ e $εα ∆ T$ e que, se $|x| ≪ 1$ , podemos aproximar ${(1 + x)}^{- 1} \approx 1 - x$ . Responda aos itens abaixo.

a) Considerando que o estudante utilizou apenas um extensômetro, enquanto os outros três braços da ponte são resistores de resistência $R_{0}$ constante, obtenha o módulo da tensão de saída $V_{0}$ da ponte, em função de $ε$ e $∆ T$ .

b) Suponha agora que o estudante deseja medir $ε$ com máxima precisão. Considerando que todo o sistema está na mesma temperatura e que, na viga metálica, há pontos de compressão e tração de mesma intensidade, indique em que tipo de ponto (tração ou compressão) cada dispositivo deve ser afixado, apontando se ele deve ser extensômetro ou resistor de resistência constante $R_{0}$ .

Resolução:

Do circuito, tomando $V_{C} = 0$ , tem-se $V_{A} = V_{s}$ . Cada ramo da ponte é um divisor de tensão:

$V_{D} = V_{s} \frac{R_{3}}{R_{1} + R_{3}}$

$V_{B} = V_{s} \frac{R_{4}}{R_{2} + R_{4}}$

Escrevendo $R_{i} = R_{0} (1 + x_{i})$ , com $x_{i} = 0$ para o resistor constante e $x_{i} = Gε + αΔT$ para o extensômetro:

$\frac{R_{3}}{R_{1} + R_{3}} = \frac{1 + x_{3}}{2 + x_{1} + x_{3}} = \frac{1}{2} (1 + x_{3}) {(1 + \frac{x_{1} + x_{3}}{2})}^{- 1}$

Usando $(1 + x)^{- 1} \approx 1 - x$ e desprezando os produtos:

$\frac{R_{3}}{R_{1} + R_{3}} \approx \frac{1}{2} (1 + \frac{x_{3} - x_{1}}{2})$

Analogamente:

$\frac{R_{4}}{R_{2} + R_{4}} \approx \frac{1}{2} (1 + \frac{x_{4} - x_{2}}{2})$

Assim:

$V_{o} = V_{D} - V_{B} \approx \frac{V_{s}}{4} (x_{2} + x_{3} - x_{1} - x_{4})$

a) Com apenas um extensômetro, somente um dos $x_{i}$ é não nulo e vale $Gε + αΔT$ . Logo:

$∴ | V_{o} | = \frac{V_{s}}{4} | Gε + αΔT |$

b) Da expressão de $V_{0}$ , os braços opostos ( $R_{1}$ e $R_{4}$ ; $R_{2}$ e $R_{3}$ ) entram com o mesmo sinal, os adjacentes com sinais opostos. Usando quatro extensômetros, com $R_{2}$ e $R_{3}$ na tração e $R_{1}$ e $R_{4}$ na compressão:

$x_{2} = x_{3} = Gε + αΔT$

$x_{1} = x_{4} = - Gε + αΔT$

$V_{o} = \frac{V_{s}}{4} [2 (Gε + αΔT) - 2 (- Gε + αΔT)] = V_{s} Gε$

O efeito térmico é anulado e a sensibilidade fica quatro vezes maior em relação ao item a. Portanto, os quatro dispositivos devem ser extensômetros:

$∴ R_{2} e R_{3}$ na tração; $R_{1} e R_{4}$ na compressão.

Observação: trocar tração e compressão em todos os braços também é válido e apenas inverte o sinal de $V_{0}$ .

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