Dissertativa 6 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

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Física
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Questão 6

Dissertativa

Considere o circuito da figura abaixo, o qual está ligado por dois fios idênticos e condutores, suspensos numa placa não condutora rígida e fixa no espaço, a duas placas planas paralelas metálicas, neutras, de área $A (A = a^{2})$ e capacitância $C$ igual à do capacitor do circuito. As placas paralelas estão a uma distância $d (d ≪ a)$ uma da outra na situação inicial de equilíbrio e estão ligadas entre si por uma mola ideal não condutora que está no seu comprimento natural. Inicialmente, as chaves $S_{1}$ e $S_{2}$ estão abertas. No instante $t_{1}$ , a chave $S_{1}$ é fechada, e o capacitor carrega alimentado por uma fonte com diferença de potencial $ε$ . Depois de o capacitor estar completamente carregado, no instante $t_{2}$ , a chave $S_{1}$ é aberta, e a chave $S_{2}$ é fechada. Em um instante $t_{3} > t_{2}$ , o sistema se encontra no ponto de equilíbrio, e a tensão medida pelo voltímetro é um quarto daquela em $t_{2}$ . Considere que as placas condutoras permanecem paralelas em todas as situações. Para o instante $t_{3}$ , obtenha

a) a carga livre que fluiu do capacitor para as placas condutoras;

b) a deformação da mola;

c) a constante elástica da mola.

Resolução:

a) Em $t_{2}$ , o capacitor está carregado com:

$Q_{0} = Cε$

Ao fechar $S_{2}$ , a carga se divide entre o capacitor do circuito e o capacitor formado pelas placas, de capacitância $C'$ , que ficam em paralelo. Do enunciado, em $t_{3}$ :

$V_{3} = \frac{ε}{4}$

Conservando a carga:

$Cε = (C + C') \frac{ε}{4} C' = 3 C$

A carga que fluiu para as placas é:

$q = C' V_{3} = 3 C \cdot \frac{ε}{4} q = \frac{3 Cε}{4}$

b) Sendo $x$ a nova distância entre as placas:

$C' = \frac{ε_{0} A}{x} = 3 \frac{ε_{0} A}{d} x = \frac{d}{3}$

Como a mola estava em seu comprimento natural, sua deformação (compressão) é:

$Δx = d - \frac{d}{3} Δx = \frac{2 d}{3}$

c) No equilíbrio, a força elétrica entre as placas é igual à força elástica. Como cada placa está sujeita apenas ao campo gerado pela outra:

$F_{e} = q \frac{σ}{2 ε_{0}} = \frac{q^{2}}{2 ε_{0} A}$

Assim:

$k \frac{2 d}{3} = \frac{1}{2 ε_{0} A} {(\frac{3 Cε}{4})}^{2}$

Como $C = \frac{ε_{0} A}{d}$ , tem-se $ε_{0} A = Cd$ :

$k \frac{2 d}{3} = \frac{9 {Cε}^{2}}{32 d} k = \frac{27 {Cε}^{2}}{64 d^{2}}$

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