Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

a) Como o centro de curvatura está no meio ${\mathrm{n}}_1$, a interface é côncava para a luz incidente. Na equação do dioptro, adota-se ${\mathrm{R}}_{\mathrm{dioptro}}=-\mathrm{R}$:

$\frac{{\mathrm{n}}_1}{\mathrm{p}}+\frac{{\mathrm{n}}_2}{\mathrm{p}\text{'}}=\frac{{\mathrm{n}}_2-{\mathrm{n}}_1}{-\mathrm{R}}$

Isolando $\mathrm{p}\text{'}$:

$\mathrm{p}\text{'}=-\frac{{\mathrm{n}}_2\mathrm{pR}}{{\mathrm{n}}_1\mathrm{R}+({\mathrm{n}}_2-{\mathrm{n}}_1)\mathrm{p}}$

Portanto:

$|\mathrm{p}\text{'}|=\frac{{\mathrm{n}}_2\mathrm{pR}}{{\mathrm{n}}_1\mathrm{R}+({\mathrm{n}}_2-{\mathrm{n}}_1)\mathrm{p}}$

O sinal negativo indica que as imagens são virtuais, localizadas no meio ${\mathrm{n}}_1$.

Do aumento linear transversal:

$\frac{\mathrm{y}\text{'}}{\mathrm{y}}=-\frac{{\mathrm{n}}_1\mathrm{p}\text{'}}{{\mathrm{n}}_2\mathrm{p}}=\frac{{\mathrm{n}}_1\mathrm{R}}{{\mathrm{n}}_1\mathrm{R}+({\mathrm{n}}_2-{\mathrm{n}}_1)\mathrm{p}}$

Como as fontes estão em $\mathrm{y}=\pm \mathrm{h}$:

$\mathrm{y}\text{'}=\pm \frac{{\mathrm{n}}_1\mathrm{R}}{{\mathrm{n}}_1\mathrm{R}+({\mathrm{n}}_2-{\mathrm{n}}_1)\mathrm{p}}\mathrm{h}$

 

b) Com $\mathrm{R}\to \infty$, a interface é plana. Para a tela distante, os raios que partem das duas fontes e chegam a um mesmo ponto da tela são praticamente paralelos, formando um ângulo ${\mathrm{\theta }}_1$ com o eixo no meio ${\mathrm{n}}_1$, e ${\mathrm{\theta }}_2$ no meio ${\mathrm{n}}_2$.

No meio ${\mathrm{n}}_1$, as duas fontes estão à mesma distância $\mathrm{p}$ da interface e os raios têm a mesma inclinação ${\mathrm{\theta }}_1$. Assim, ambos percorrem o mesmo caminho até a interface:

${\mathrm{\ell }}_1={\mathrm{\ell }}_2=\frac{\mathrm{p}}{{\mathrm{cos\theta }}_1}$

Portanto, o trecho no meio ${\mathrm{n}}_1$ não contribui para a diferença de caminho óptico.

Os raios atingem a interface em pontos separados por $2 \mathrm{h}$ e seguem aproximadamente paralelamente no meio ${\mathrm{n}}_2$. Até a tela, o raio da fonte inferior percorre $2 \mathrm{h} \mathrm{sen} {\mathrm{\theta }}_2$ a mais. Como $\mathrm{p}\ll \mathrm{D}$, $\mathrm{sen} {\mathrm{\theta }}_2\approx \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{D}}$. Assim, toda a diferença de caminho óptico ocorre no meio ${\mathrm{n}}_2$:

${\mathrm{\Delta d}}_{\mathrm{óptico}}=2{\mathrm{n}}_2\mathrm{h} \mathrm{sen} {\mathrm{\theta }}_2\approx {\mathrm{n}}_2\frac{2\mathrm{hy}}{\mathrm{D}}$

Considerando $\lambda$ o comprimento de onda no vácuo, para a primeira franja luminosa:

${\mathrm{\Delta d}}_{\mathrm{óptico}}=\mathrm{\lambda }$

${\mathrm{n}}_2\frac{2\mathrm{hy}}{\mathrm{D}}=\mathrm{\lambda }$

$\boxed{ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{\lambda D}}{2{\mathrm{n}}_2\mathrm{h}}}$

Observação: do item a, com $\mathrm{R}\to \infty$, as imagens ficam em $\mathrm{y}\text{'}=\pm \mathrm{h}$, a uma distância $\frac{{\mathrm{n}}_2\mathrm{p}}{{\mathrm{n}}_1}$ da interface. Como as fontes estão à mesma distância da interface, o resultado é o mesmo que tratar suas imagens como fontes coerentes no meio ${\mathrm{n}}_2$.