Questão 11 - 1ª Fase - IME 2025

Resolução 1:

Fazendo ${\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3=(\mathrm{a}+\mathrm{b})({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{ab})$ e desenvolvendo a expressão, tem-se:

${\cos }^3\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{sen}}^3\left(\mathrm{x}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{sen}\left(2\mathrm{x}\right)=1$

$(\mathrm{senx}+\mathrm{cosx})\left(\underset{1}{\underbrace{{\mathrm{sen}}^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}}}-\mathrm{senxcox}\right) +\frac{1}{2}2\mathrm{senxcosx}=1$

$(\mathrm{senx}+\mathrm{cosx})(1-\mathrm{senxcosx})-(1-\mathrm{senxcosx})=0$

$(1-\mathrm{senxcosx})(\mathrm{senx}+\mathrm{cosx}-1)=0$

Caso 1:

$$\begin{gathered} 1-\mathrm{senxcosx}=0 \\ \mathrm{senx} \mathrm{cosx}=1\Rightarrow \mathrm{sen}\left(2\mathrm{x}\right)=2\Rightarrow \nexists \mathrm{x} \end{gathered}$$

Caso 2:

$$\begin{gathered} \mathrm{senx}+\mathrm{cosx}-1=0 \\ \mathrm{senx}+\mathrm{cosx}=1\Rightarrow \mathrm{senx}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cosx}= \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \mathrm{sen}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \mathrm{x}\in \left\{0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right\} \end{gathered}$$

Portanto, há apenas 2 soluções no intervalo $[0, 2\mathrm{\pi })$.

Resolução 2:

Desenvolvendo a equação dada, tem-se:

${\cos }^3\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{sen}}^3\left(\mathrm{x}\right)+\frac{1}{2}·\mathrm{sen}\left(2\mathrm{x}\right)=1$

$$\begin{gathered} \mathrm{Dada} \mathrm{a} \mathrm{identidade} {\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3=(\mathrm{a}+\mathrm{b})({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{ab}): \\ (\mathrm{senx}+\mathrm{cosx})({\mathrm{sen}}^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}-\mathrm{senxcosx})+\frac{1}{2}·2\mathrm{senxcosx}=1 \end{gathered}$$

Como ${\mathrm{sen}}^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}=1$, tem-se:

$(\mathrm{senx}+\mathrm{cosx})(1-\mathrm{senxcosx})+\mathrm{senxcosx}=1$

Seja $\mathrm{senx}+\mathrm{cosx}=\mathrm{t}.$

Desse modo:

${\mathrm{t}}^2={\mathrm{sen}}^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}+2\mathrm{senxcosx}\Rightarrow {\mathrm{t}}^2=1+2\mathrm{senxcosx}\Rightarrow \mathrm{senx}·\mathrm{cosx}=\frac{{\mathrm{t}}^2-1}{2}$

Substituindo essas relações na equação anterior:

$$\begin{gathered} \mathrm{t}·\left(1-\frac{{\mathrm{t}}^2-1}{2}\right)+\mathrm{t}=1 \\ {\mathrm{t}}^3-{\mathrm{t}}^2-3\mathrm{t}+3=0 \\ {\mathrm{t}}^2(\mathrm{t}-1)-3(\mathrm{t}-1)=0\Rightarrow (\mathrm{t}-1)({\mathrm{t}}^2-3)=0 \end{gathered}$$

Caso 1:

$$\begin{gathered} \mathrm{t}=1\Rightarrow \mathrm{senx}+\mathrm{cosx}=1 \\ \mathrm{senx}+\mathrm{cosx}=1\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{senx}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cosx}= \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \mathrm{sen}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Considerando que $x\in [0, 2\mathrm{\pi })$, as soluções no intervalo são x = 0 ou $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Caso 2:

${\mathrm{t}}^2=3\Rightarrow \mathrm{senx}+\mathrm{cosx}=\pm \sqrt{3}$

Nota-se que $\mathrm{senx}+\mathrm{cosx}=\sqrt{2}\mathrm{sen}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$.

Desse modo:

$-\sqrt{2}\le \mathrm{senx}+\mathrm{cosx}\le \sqrt{2}$

Portanto, o caso 2 não apresenta solução.

Assim, as únicas soluções no intervalo citado são $\boxed{\mathrm{x} = 0 \mathrm{ou} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$.