Questão 26 - 1ª Fase - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Gabarito

1ª Fase
1. 1C
2. 2E
3. 3B
4. 4C
5. 5D
6. 6E
7. 7D
8. 8D
9. 9A
10. 10B
11. 11C
12. 12B
13. 13A
14. 14D
15. 15E
16. 16A
17. 17C
18. 18D
19. 19B
20. 20A
21. 21A
22. 22E
23. 23B
24. 24E
25. 25D
26. 26D
27. 27A
28. 28C
29. 29D
30. 30C
31. 31D
32. 32C
33. 33A
34. 34C
35. 35D
36. 36D
37. 37E
38. 38B
39. 39B
40. 40E

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 26

Objetiva

Para simular a órbita $(x (t), y (t))$ do satélite de um planeta, no referencial do planeta, utilizou-se um modelo unidimensional com as seguintes equações:

$x (t) = A \cdot \cos (ωt) y (t) = B \cdot sen (ωt)$

onde A, B e $ω$ são constantes e t é o instante de tempo.

Dados:

massa do planeta: M;
massa do satélite: m, onde m << M;
constante universal de gravitação: G;
C = $\sqrt{A^{2} - B^{2}}$ ;
Localização do centro do planeta: (C, 0)

A diferença entre a maior e a menor energia potencial gravitacional do satélite é:

Alternativas

A
$2 AGmM / B^{2}$
B
$CGmM / B^{2}$
C
$2 CGmM / A^{2}$
D
$2 CGmM / B^{2}$
E
$AGmM / C^{2}$

Gabarito:
D

Manipulando as expressões de $x (t)$ e $y (t)$ , constatamos que a órbita corresponde a uma elipse:

$\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = \cos^{2} (ω \cdot t) + {sen}^{2} (ω \cdot t) \Rightarrow \frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$

A cônica tem semieixos A e B.

De acordo com o enunciado, C = $\sqrt{A^{2} - B^{2}}$ . Logo, A > B, o que torna A o semiexo maior.

A maior energia potencial ocorrerá no ponto mais distante do planeta, isto é, o apoastro.

d = A + C $\Rightarrow E_{pg 1} = \frac{G \cdot M \cdot m}{A + C}$

A menor energia potencial ocorrerá no ponto mais próximo do planeta, isto é, o periastro.

d = A – C $\Rightarrow E_{pg 2} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{A - C}$

Portanto:

${ΔE}_{pg} = E_{pg 1} - E_{pg 2}$

${ΔE}_{pg} = G \cdot M \cdot m \cdot [- \frac{1}{A + C} + \frac{1}{A - C}]$

${ΔE}_{pg} = G \cdot M \cdot m \cdot \frac{2 \cdot C}{A^{2} - C^{2}}$

Fazendo $A^{2} - C^{2} = B^{2} :$

${ΔE}_{pg} = \frac{2 \cdot C \cdot G \cdot m \cdot M}{B^{2}}$

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