Questão 23 - Prova Geral Medicina - PUC Campinas 2027

Queremos calcular ${\log }_{\mathrm{n}}\mathrm{m}$ em que $\mathrm{n}={\mathrm{x}}_{\mathrm{V}}$ e $\mathrm{m}={\mathrm{y}}_{\mathrm{V}}$ da função $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{3}{4}{\mathrm{x}}^2+18\mathrm{x}-60$.

• $\mathrm{n}={\mathrm{x}}_{\mathrm{V}}=-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=-\frac{18}{2·\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{18}{\frac{3}{2}}=18·\frac{2}{3}=12.$
• $\mathrm{m}={\mathrm{y}}_{\mathrm{V}}=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{V}}\right)=\mathrm{f}\left(12\right)=-\frac{3}{4}·{12}^2+18·12-60=-108+216-60=48.$

Realizando a mudança de base para a base decimal, temos:

${\log }_{12}48=\frac{\log 48}{\log 12}=\frac{\log (2^4·3)}{\log (2^2·3)}=\frac{4·\log 2+\log 3}{2·\log 2+\log 3}$

Substituindo os valores dados no enunciado, em que log⁡2 = 0,30 e log⁡3 = 0,48, então:

${\log }_{12}48=\frac{4·0,30+0,48}{2·0,30+0,48}=\frac{1,68}{1,08}=1,\overline{5}=1+0,\overline{5}=1+\frac{5}{9}=\frac{14}{9}$