Questão 26 - Prova Geral Medicina - PUC Campinas 2027

A partir da imagem temos: 

P(0,4), Q(1,0), R(8,10) e S(10,8).

Considere T(x,y) o ponto equidistante de P e Q e, ao mesmo tempo, equidistante de R e S.

• T é equidistante de P e Q:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{T},\mathrm{P}}={\mathrm{d}}_{\mathrm{T},\mathrm{Q}} \\ \sqrt{(\mathrm{x}-0{)}^2+(\mathrm{y}-4{)}^2}=\sqrt{(\mathrm{x}-1{)}^2+(\mathrm{y}-0{)}^2} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-8\mathrm{y}+16={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1+{\mathrm{y}}^2 \\ 2\mathrm{x}-8\mathrm{y}=-15 \left(1\right) \end{gathered}$$

• T é equidistante de R e S:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{T},\mathrm{R}}={\mathrm{d}}_{\mathrm{T},\mathrm{S}} \\ \sqrt{(\mathrm{x}-8{)}^2+(\mathrm{y}-10{)}^2}=\sqrt{(\mathrm{x}-10{)}^2+(\mathrm{y}-8{)}^2} \\ {\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}+64+{\mathrm{y}}^2-20\mathrm{y}+100={\mathrm{x}}^2-20\mathrm{x}+100+{\mathrm{y}}^2-16\mathrm{y}+64 \\ 4\mathrm{x}-4\mathrm{y}=0 \\ \mathrm{x}=\mathrm{y} \left(2\right) \end{gathered}$$

Substituindo (2) em (1), obtemos:

$2\mathrm{x}-8\mathrm{x}=-15\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{5}{2}$

Se $\mathrm{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{5}{2}$, então:

$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\Rightarrow \boxed{\mathrm{x}+\mathrm{y}=5}$