Questão 16 - 1ª Fase - ITA 2026

Isole-se uma das massas do triângulo equilátero:

A massa $\mathrm{M}$ fica no baricentro do triângulo equilátero e dista $\frac{2}{3}·\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$ do vértice.

Cálculo das forças gravitacionais:

$$\begin{gathered} {\mathrm{F}}_1=\frac{{\mathrm{Gm}}^2}{{\mathrm{a}}^2} \\ {\mathrm{F}}_2=\frac{\mathrm{GMm}}{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}·\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}=\frac{3\mathrm{GMm}}{{\mathrm{a}}^2} \end{gathered}$$

Como cada massa m descreve uma trajetória circular de raio $\mathrm{R}=\frac{2}{3}·\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{3}}$:

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{F}}_1\cos 30°+{\mathrm{F}}_2={\mathrm{m\omega }}^2\mathrm{R} \\ 2\frac{{\mathrm{Gm}}^2}{{\mathrm{a}}^2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\mathrm{GMm}}{{\mathrm{a}}^2}=\mathrm{m}{\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{T}}\right)}^2\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{Gm}}{{\mathrm{a}}^2}(\mathrm{m}\sqrt{3}+3\mathrm{M})=\mathrm{m}\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{{\mathrm{T}}^2}\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{3}} \\ {\mathrm{T}}^2=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{a}}^3}{3\mathrm{G}\left(\mathrm{m}+\mathrm{M}\sqrt{3}\right)} \\ \boxed{\mathrm{T}=\frac{2{\mathrm{\pi a}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{\sqrt{3\mathrm{G}(\mathrm{m}+\mathrm{M}\sqrt{3})}}} \end{gathered}$$