Questão 4 - 1ª Fase - ITA 2026

Tem-se:

${\mathrm{iz}}^2=2\overline{\mathrm{z}}$

$\left|{\mathrm{iz}}^2\right|=\left|2\overline{\mathrm{z}}\right|$

$\left|\mathrm{i}\right|·{\left|\mathrm{z}\right|}^2=2·\left|\mathrm{z}\right|$

Como $\left|z\right|\ne 0$ e $\left|i\right|=1$:

$\left|z\right|=2$

Desse modo, tem-se:

$z·\overline{z}={\left|z\right|}^2\to z·\overline{z}=4\to \overline{z}=\frac{4}{z}$

Dada a equação inicial:

${\mathrm{iz}}^2=2\overline{\mathrm{z}}$

${\mathrm{iz}}^2=2·\frac{4}{\mathrm{z}}$

${\mathrm{z}}^3=\frac{8}{\mathrm{i}}$

${\mathrm{z}}^3=-8\mathrm{i}$

Pela segunda lei de Moivre:

${\mathrm{z}}^3=8·\mathrm{cis}\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

$\mathrm{z}=2·\mathrm{cis}\left(\frac{{\displaystyle \frac{3\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{k\pi }}}{3}\right)$, $k=0, 1, 2$

Assim, as raízes são:

${\mathrm{z}}_0=2\mathrm{cis}\frac{\mathrm{\pi }}{2}$,       ${\mathrm{z}}_1=2\mathrm{cis}\frac{7\mathrm{\pi }}{6}$,       ${\mathrm{z}}_2=2\mathrm{cis}\frac{11\mathrm{\pi }}{6}$

Ou seja:

${\mathrm{z}}_0=2\mathrm{i}$,       ${\mathrm{z}}_1=-\sqrt{3}-\mathrm{i}$,       ${\mathrm{z}}_2=\sqrt{3}-\mathrm{i}$

A área desse triângulo é dada por:

$A=\frac{1}{2}·||\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ -\sqrt{3}& -1& 1\\ \sqrt{3}& -1& 1\end{array}|| \boxed{=3\sqrt{3}}$