Questão 8 - 1ª Fase - ITA 2026

Considera-se o polinômio auxiliar $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\equiv \mathrm{P}(2+\mathrm{x})$.

Desse modo, $\mathrm{Q}(-\mathrm{x})=\mathrm{P}(2-\mathrm{x})$.

Como $\mathrm{P}(2+\mathrm{x})=-\mathrm{P}(2-\mathrm{x})$, então $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{Q}(-\mathrm{x})$, que é uma função ímpar.

Desse modo, $\mathrm{P}(2+\mathrm{x})$ é uma função ímpar. Tem-se:

$\mathrm{P}(2+\mathrm{x})={(2+\mathrm{x})}^3+\mathrm{b}{(2+\mathrm{x})}^2+\mathrm{c}(2+\mathrm{x})+\mathrm{d}$

Assim:

$\mathrm{P}(2+\mathrm{x})={\mathrm{x}}^3+(\mathrm{b}+6){\mathrm{x}}^2+(12+4\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{x}+(8+4\mathrm{b}+2\mathrm{c}+\mathrm{d})$

Como P(2+x) é função ímpar, os coeficientes das potências pares de x são nulos. Assim:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}+6=0\\ 8+4\mathrm{b}+2\mathrm{c}+\mathrm{d}=0\end{array}\right.$

Desse modo, b = $-6$ e $-16+2\mathrm{c}+\mathrm{d}=0\to \mathrm{d}=16-2\mathrm{c}$.

Pode-se reescrever P(x) como:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+\mathrm{cx}+(16-2\mathrm{c}) \left(\mathrm{II}\right)$

Como $\mathrm{P}(2+\mathrm{x})=-\mathrm{P}(2-\mathrm{x})$ para todo x real, toma-se x = 0:

$\mathrm{P}\left(2\right)=-\mathrm{P}\left(2\right)\to \mathrm{P}\left(2\right)=0$

Dividindo (II) por x-2, tem-se a fatoração:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=(\mathrm{x}-2)({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+\mathrm{c}-8)$

Como todas as raízes são reais, a equação ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+\mathrm{c}-8=0$ deve ter raízes reais. Assim:

$\mathrm{\Delta }\ge 0\to {\left(-4\right)}^2-4·1·\left(\mathrm{c}-8\right)\ge 0\to \mathrm{c}\le 12$

De (II), tem-se:

$\mathrm{P}\left(0\right)=16-2\mathrm{c}$

Como $\mathrm{c}\le 12$, o valor mínimo de $\mathrm{P}\left(0\right)$ é

$\mathrm{P}{\left(0\right)}_{\mathrm{mín}}=16-2·12=\boxed{-8}$