Questão 17 - 1ª Fase - ITA 2026

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S/A
Sem alternativas

Questão 17

Objetiva

Considere um pêndulo simples, com um fio ideal de comprimento $l$ sob ação da gravidade de aceleração g, e um sistema massa–mola na horizontal, com uma mola de comprimento natural $x_{0}$ e uma massa que desliza sobre uma superfície lisa, conforme a figura. Ambos os corpos, o do pêndulo e o do sistema massa–mola, possuem a mesma massa. No instante inicial, o pêndulo é solto do repouso a partir de um pequeno ângulo $θ$ com a vertical, enquanto a massa do sistema massa–mola é solta também do repouso a partir de uma posição $x_{1}$ , em que a mola se encontra comprimida. As duas massas colidem quando a mola atinge seu comprimento natural e quando o pêndulo está na vertical. Nesse instante, elas possuem a mesma velocidade.

Assinale a alternativa que corresponde a relação entre o ângulo $θ$ , de lançamento do pêndulo, e os outros parâmetros físicos relevantes.

Alternativas

A
$\cos θ = 1 - \frac{{(x_{1} - x_{0})}^{2}}{2 l^{2}} .$
B
$\sin θ = 1 - \frac{{(x_{1} - x_{0})}^{2}}{2 l^{2}} .$
C
$\cos θ = 1 - \frac{{(x_{1} - x_{0})}^{2}}{l^{2}} .$
D
$\sin θ = 1 - \frac{2 l^{2}}{{(x_{1} - x_{0})}^{2}} .$
E
$\cos θ = 1 - \frac{l^{2}}{{(x_{1} - x_{0})}^{2}} .$

Gabarito:
A

1) Sistema massa-mola:

$E_{mec, in} = E_{mec, fi} \Rightarrow \frac{k {(x_{1} - x_{0})}^{2}}{2} = \frac{{mv}^{2}}{2} \Rightarrow {mv}^{2} = k {(x_{1} - x_{0})}^{2}$

2) Pêndulo simples:

$E_{mec, in} = E_{mec, fi} \Rightarrow mg l (1 - cosθ) = \frac{{mv}^{2}}{2} \Rightarrow {mv}^{2} = 2 mg l (1 - cosθ)$

Como as duas massas são iguais e elas têm a mesma velocidade na colisão:

$k {(x_{1} - x_{0})}^{2} = 2 mg l (1 - cosθ)$

Antes da colisão, cada sistema efetua um MHS com o mesmo período, logo:

$T_{1} = T_{2} \Rightarrow 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} \Rightarrow k = \frac{mg}{l}$

Portanto:

$\frac{mg}{l} {(x_{1} - x_{0})}^{2} = 2 mg l (1 - cosθ) \Rightarrow cosθ = 1 - \frac{{(x_{1} - x_{0})}^{2}}{2 l^{2}}$

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