Questão 5 - 1ª Fase - ITA 2026

Conforme a figura a seguir, a área de um triângulo equilátero em função do raio da circunferência circunscrita é dada por: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=3·\frac{1}{2}·\mathrm{R}·\mathrm{R}·\mathrm{sen}120º \\ {\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{3\sqrt{3}}{4}·{\mathrm{R}}^2 \end{gathered}$$

A área do hexagrama da questão pode ser calculada como a soma de um triângulo equilátero de lado 3k e 3 triângulos equiláteros de lado k, cada um com área ${\left(\frac{\mathrm{k}}{3\mathrm{k}}\right)}^2=\frac{1}{9}$ do triângulo de lado 3k $\left(\mathrm{que} \mathrm{tem} \mathrm{área} \frac{3\sqrt{3}}{4}·{\mathrm{R}}^2\right)$.

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$$\begin{gathered} \frac{3\sqrt{3}}{4} {\mathrm{R}}^2+3·\frac{1}{9}·\frac{3\sqrt{3}}{4} {\mathrm{R}}^2=25\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2 \\ \frac{3\sqrt{3}}{4} {\mathrm{R}}^2 \left(1+\frac{1}{3}\right)=25\sqrt{3} \\ \frac{3\sqrt{3}}{4} {\mathrm{R}}^2·\frac{4}{3}=25\sqrt{3} \\ {\mathrm{R}}^2\sqrt{3}=25\sqrt{3} \\ \mathrm{R} = 5 \mathrm{cm} \end{gathered}$$

A área do quadrado inscrito em uma circunferência de raio R é igual a de quatro triângulos retângulos isósceles de catetos R, conforme a figura a seguir:

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}_{\mathrm{Q}}=4·\frac{1}{2}·\mathrm{R}·\mathrm{R} = 2{\mathrm{R}}^2 \\ {\mathrm{A}}_{\mathrm{Q}}=2·5^2=\boxed{50 {\mathrm{cm}}^2} \end{gathered}$$